Решение задачи массообмена в первом приближении. Выпишем ещё раз полученную в разделе 1.5.4 математическую постановку задачи массообмена для коэффициентов первого приближения, пренебрегая радиоактивным распадом в водоупорных пластах 2.4.1 , 2.4.2 , 2.4.3 начальные условия, условия сопряжения и граничные условия , 2.4.4 2.4.5 2.4.6 . 2.4.7 Напомним, что решение отыскивается в форме квадратного многочлена относительно z , 2.4.8 где , 2.4.9 . 2.4.10 Определение сводится к решению уравнения , 2.4.11 где введён оператор . 2.4.12 Перейдём далее к пространству изображений преобразование Лапласа - Карсона. При этом оператор принимает вид . 2.4.13 Выражение 2.4.11 в пространстве изображений . 2.4.14 Имеет смысл сначала найти в пространстве изображений выражения и. Воспользовавшись аналогами 2.4.9 и 2.4.10 в пространстве изображений, а также 2.1.48 , 2.1.49 , получим , 2.4.15 . 2.4.16 Далее , 2.4.17 . 2.4.18 Выражение 1.10.7 , в пространстве изображений представляется как . 2.4.19 Решения уравнений 2.4.2 и 2.4.3 почти ничем не отличаются от решений соответствующих уравнений в нулевом приближении, поэтому в пространстве изображений справедливы соотношения 2.4.20 Заметим, что в первом приближении зависит от z. Это же справедливо и для изображений.
Из 2.4.19 получим для первого коэффициента разложения , 2.4.21 . 2.4.22 Подставляя в 2.4.14 выражения 2.4.15 - 2.4.18 и 2.4.20 - 2.4.22 , после упрощений получим . 2.4.23 Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . 2.4.24 Подставляя найденное значение в 2.4.23 и считая, что, получим дифференциальное уравнение , 2.4.25 решение которого . 2.4.26 Из 2.4.24 и 2.4.26 выражение для . 2.4.27 Для нахождения воспользуемся дополнительным интегральным условием 1.5.101 которое для коэффициентов разложения первого порядка в пространстве изображений имеет вид . 2.4.28 Здесь - среднее по z значение, определяемое с помощью 2.4.19 стандартным образом 2.4.29 Тогда в пространстве изображений получим , 2.4.30 или, с учётом 2.4.15 . 2.4.31 Сравнивая с 2.4.27 , определим . 2.4.32 окончательно для имеем в пространстве изображений . 2.4.33 Наконец, подставив 2.4.15 , 2.4.16 и 2.4.33 в 2.4.19 получим выражение для первого коэффициента в пространстве изображений 2.4.34 Скомпонуем последнее выражение удобным образом учитывая необходимость перехода в пространство оригиналов 2.4.35 Раскрывая в соответствии с 2.1.43 , перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа - Карсона 23 2.4.36 В нашем случае , 2.4.37 . 2.4.38 Наконец, справедливо следующее соотношение . 2.4.39 Воспользовавшись 2.3.36 - 2.3.39 , из 2.3.35 получим выражение для первого коэффициента разложения в форме 2.4.40 При этом в первом приближении плотность загрязнителя представится как , 2.4.41 где и определяются выражениями 2.1.52 и 2.4.40 . Оценим теперь вклад второго слагаемого в фигурных скобках выражения 2.4.40 по сравнению с первым. Полагая коэффициенты диффузии надстилающего и подстилающего пластов равными, для отношения этих слагаемых получим . 2.4.42 Анализ рис. 2.12 позволяет сделать вывод о возможности пренебрежения вторым слагаемым в фигурных скобках 2.4.40 по сравнению с первым для всех практически значимых времён на расстояниях до 0.95Rd. Графики на рис.2.12 построены для z 0, но аналогичные результаты получаются и при других z, за исключением точек, в которых 2.4.42 обращается в бесконечность. Рис. 2.12. Зависимость от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1-t 10, 2-30, 3-100. Графики построены для z 0. Другие расчётные параметры Pd 102, Однако из рис. 2.13 видно, что и в этом случае в силу абсолютной малости соответствующего слагаемого им можно пренебречь для расстояний меньших 0.98Rd. поэтому в дальнейшем при рассмотрении первого коэффициента асимптотического разложения будем полагать, что Рис. 2.13. Зависимость второго слагаемого по раскрытии всех скобок в 2.4.40 от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1-t 10, 2-30, 3-100. Графики построены для. Другие расчётные параметры Pd 102, 2.4.43 Выражение 2.4.43 с высокой степенью точности определяет первый коэффициент модифицированного асимптотического разложения плотности радиоактивного загрязнителя. 2.5.