Стационарное решение задачи массопереноса в нулевом и первом приближении. Отметим, что чрезвычайно важным является нахождение стационарного решения, позволяющего установить максимальные размеры зоны загрязнения.
Положим в уравнениях 1.5.14 - 1.5.16 , описывающих распространение загрязнителя в пластах, первое слагаемое равным нулю. При этом уравнения принимают вид , 2.6.1 , 2.6.2 . 2.6.3 Поделив левые и правые части всех уравнений на, значение которого определяется выражением 1.5.12 , запишем стационарную задачу вместе с граничными условиями и условиями сопряжения , 2.6.4 , 2.6.5 , 2.6.6 , 2.6.7 , 2.6.8 , 2.6.9 2.6.10 Будем искать решение задачи 2.6.4 - 2.6.10 в виде асимптотического ряда по параметру, появляющемуся при формальной замене коэффициента диффузии на частное. В соответствии с принятыми обозначениями это соответствует следующим заменам, а 2.6.11 Подставив выражения 2.6.11 в 2.6.4 - 2.6.10 и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения, получим следующую постановку параметризованной задачи вместе с граничными условиями , 2.6.12 , 2.6.13 2.6.14 2.6.15 2.6.16 , 2.6.17 2.6.18 Приравнивая коэффициенты при в уравнении 2.6.14 и учитывая условие 2.6.15 , получим, что в нулевом приближении плотность загрязнителя является функцией только от r, т.е. в каждом вертикальном сечении одинакова по высоте несущего пласта. Далее, приравняв к нулю коэффициенты при в уравнении 2.6.14 , получим . 2.6.19 Левую часть этого уравнения, не зависящую от z, обозначим через . 2.6.20 Тогда, следовательно , 2.6.21 . 2.6.22 Здесь неизвестные пока функции.
Из условий сопряжения 2.6.15 при сомножителе получим , 2.6.23 . 2.6.24 Тогда уравнение 2.6.20 примет вид . 2.6.25 Для нулевого приближения из 2.6.12 и 2.6.13 с учётом условий сопряжения 2.6.16 2.6.26 Продифференцировав последние выражения и подставив результат в 2.4.25 , получим . 2.6.27 Решение этого уравнения представим как , 2.6.28 где . 2.6.29 Полученные уравнения 2.6.26 , 2.6.28 и определяют решение стационарной задачи в нулевом приближении. Найдём теперь коэффициенты при в асимптотическом разложении стационарной задачи массопереноса.
Уравнения 2.6.12 - 2.6.14 для слагаемых, содержащих имеют вид , 2.6.30 , 2.6.31 . 2.6.32 Условия сопряжения представляются как 2.6.33 2.6.34 причем, решение отыскивается в форме квадратного многочлена 2.6.22 относительно z, где и определены выражениями 2.6.20 и 2.6.21 , а неизвестно.
Для его определения перепишем 2.6.32 в виде , 2.6.35 где оператор. Учитывая соотношение 2.6.22 , а также линейность оператора, получим . 2.6.36 Интегрируя последнее выражение и используя условия сопряжения 2.6.34 , перейдём к уравнению . 2.6.37 Решения уравнений для первых коэффициентов асимптотического разложения для настилающего и подстилающего пластов почти не отличаются от решений соответствующих уравнений в нулевом приближении, поэтому справедливы соотношения 2.6.38 Воспользовавшись 2.6.23 , 2.6.26 и 2.6.28 , получим , 2.6.39 , 2.6.40 , 2.6.41 . 2.6.42 Уравнение 2.6.37 с учетом 2.6.38 - 2.6.42 , запишется как . 2.6.43 Решение этого уравнения . 2.6.44 Для нахождения постоянной интегрирования С необходимо воспользоваться граничным условием 2.6.17 для коэффициента при. Однако, как следует из 2.6.22 , удовлетворить ему не представляется возможным.
Это вынуждает ослабить условие 2.6.17 . Для того, чтобы прояснить возможное ослабление, рассмотрим задачу для остаточного члена. Подставляя 2.6.45 в параметризованную задачу, получим , 2.6.46 2.6.47 , 2.6.48 с граничными условиями и условиями сопряжения 2.6.49 , 2.6.50 2.6.51 , 2.6.52 2.6.53 Усредним задачу по толщине пласта.
При усреднении второй производной по вертикальной координате воспользуемся условиями сопряжения 2.6.49 2.6.54 Окончательно постановка усредненной задачи для остаточного члена с учетом 2.6.54 представится как , 2.6.55 2.6.56 , 2.6.57 с граничными условиями и условиями сопряжения , 2.6.58 2.6.59 , 2.6.60 2.6.61 Усредненная задача для остаточного члена 2.6.55 - 2.6.61 имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда , 2.6.62 и , 2.6.63 то есть, когда в усредненной задаче для остаточного члена отсутствует источник и средние значения нулевого коэффициента разложения на поверхности задания граничных условий обращается в нуль. В справедливости последнего уравнения легко убедиться, усреднив 2.6.35 с учетом условий сопряжения 2.6.34 . Следовательно, если заменить граничное условие для на среднеинтегральное , 2.6.64 то рассматриваемый метод решения обеспечивает возможность обращения в нуль решения усреднённой задачи для остаточного члена асимптотического разложения.
Это, естественно, повышает ценность решения для практических приложений. В силу этого целесообразно в асимптотических решениях выделить соответствующий класс решений.
Асимптотическое приближение параметризованной задачи, полученной из 2.6.4 - 2.6.10 , построенное при условии, что решение усредненной задачи для остаточного члена является тривиальным, назовем точным в среднем асимптотическим решением.
Для точного в среднем решения из дополнительного граничного условия 2.6.64 и выражения для первого коэффициента разложения 2.6.22 получим . 2.6.65 Откуда . 2.6.66 Подставляя полученное таким образом выражение в 2.6.22 , для первого коэффициента разложения получим 2.6.67 2.6.68 В первом приближении решение стационарной задачи имеет вид 2.3.69 где и определяются выражениями 2.4.26 , 2.4.28 и 2.4.67 , 2.4.68 2.7.