Решение задачи теплообмена в пространстве изображений в первом приближении. Постановка первого приближения задачи теплообмена была осуществлена в 1.4.4. Выпишем полученные там уравнения ещё раз, переобозначив их для удобства 3.4.1 , 3.4.2 . 3.4.3 Граничные условия и условия сопряжения 3.4.4 3.4.5 , 3.4.6 , 3.4.7 3.4.8 Решение отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z , 3.4.9 причём , 3.4.10 , 3.4.11 а значение нам ещё предстоит найти. Система 3.4.1 - 3.4.8 и определяет постановку задачи теплообмена в первом приближении.
Здесь также зависит от плотности загрязнителя, что определяется выражениями для Для нахождения перепишем 3.4.3 в виде , 3.4.12 где введён оператор . 3.4.13 Учитывая 3.4.9 и 3.4.12 , а также линейность оператора, получим 3.4.14 Проинтегрируем последнее выражение 3.4.15 Как видно из 3.4.15 , в первом приближении задача теплопереноса в общем случае уже зависит от первого приближения плотности радиоактивного загрязнителя.
В силу громоздкости получающихся выражений ограничимся решением этой задачи в общем случае в пространстве изображений преобразование Лапласа - Карсона. Перейдём сразу в пространство изображений, воспользовавшись преобразованием Лапласа - Карсона.
При этом последнее уравнение принимает вид 3.4.16 Причём оператор в пространстве изображений представится как , 3.4.17 а определяется выражением 2.1.47 . Учитывая условия сопряжения 3.4.4 , остающиеся справедливыми и в пространстве изображений, получим из 3.4.16 3.4.18 и 3.4.19 Умножая 3.4.18 на и вычитая 3.4.19 , получим 3.4.20 Выразим из 3.4.20 3.4.21 В пространстве изображений 3.4.9 принимает вид 3.4.22 где 3.4.23 3.4.24 Решения уравнений , 3.4.25 , 3.4.26 соответствующих 3.4.1 , 3.4.2 в пространстве изображений, с учётом условий регулярности и сопряжения, принимают вид , 3.4.27 . 3.4.28 При этом следы производных из внешних областей представятся как 3.4.29 что позволяет переписать 3.4.21 в виде 3.4.30 Из 3.3.9 в пространстве изображений определены граничные значения первого коэффициента 3.4.31 3.4.32 Подстановка 3.4.31 , 3.4.32 в 3.4.30 даёт уравнение для определения . 3.4.33 Действительно, значения всех величин и выражения для всех переменных, входящих в 3.4.33 , за исключением нам известны.
При решении этого уравнения появится постоянная интегрирования, значение которой может быть найдено с использованием нелокального интегрального условия аналогично нахождению первого коэффициента разложения в задаче массопереноса. 3.5.