Уравнение конвективной диффузии с учетом радиоактивного распада и обмена жидкости со скелетом. Постановка задачи о распределении концентрации вредных примесей при закачке растворов в глубоко залегающие пористые пласты основана на законе сохранения массы входящих в состав примесей. Для загрязнителя, находящегося в скелете пласта, справедливо уравнение неразрывности 1.3.1 где - диффузионный поток вещества в скелете соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества в скелете, m - пористость скелета функция массообмена между скелетом и жидкостью, показывающая изменение плотности вещества в скелете за счёт диффузии молекул примеси из жидкости в скелет функция источников концентрации, определяющая потери загрязнителя за счёт радиоактивного распада. Для загрязнителя, находящегося в жидкости, уравнение неразрывности принимает вид , 1.3.2 где - диффузионный поток радиоактивного вещества в жидкости, текущей в пласте соответственно плотность и коэффициент диффузии радиоактивного вещества в жидкости.
Будем считать, что процесс перехода молекул примеси из жидкости в скелет и её переход из скелета в жидкость определяется соотношением химических потенциалов. При этом, из закона сохранения следует, что потоки вещества из жидкости в скелет и обратно равны, но противоположны по знаку.
Это приводит к появлению в правых частях уравнений одной и той же функции, но с противоположным знаком.
Полагая далее пористость m постоянной, и складывая уравнения 1.3.1 и 1.3.2 , получим 1.3.3 Равновесные концентрации примеси в скелете и в жидкости связаны между собой соотношением изотерма сорбции, где - некоторая функция концентрации примеси в жидкости. Будем считать, что зависимость концентрации примеси в скелете от концентрации её в жидкости линейна изотерма Генри, что является хорошим приближением при сравнительно небольших концентрациях мигранта , 1.3.4 где - коэффициент распределения загрязнителя между носителем и скелетом.
Тогда последнее уравнение принимает вид 1.3.5 Учитывая, что для несжимаемой жидкости, а следовательно из последнего уравнения получим . 1.3.6 Здесь введено обозначение 1.3.7 -эффективный коэффициент диффузии в пласте.
Из 1.3.6 следует, что в уравнении, описывающем миграцию загрязнителя, необходимо учитывать конвективный перенос загрязнителя, осложнённый наличием пористости в скелете и протекающими массообменными процессами между загрязнителем и скелетом. Уравнение 1.3.6 позволяет определить скорость конвективного переноса примесей в пористой среде по аналогии со скоростью конвективного переноса тепла и скоростью фильтрации . 1.3.8 Скорость конвективного переноса примеси определяет положение фронта загрязнения Rd подобно тому, как скорость фильтрации определяет положение фронта закачиваемой жидкости Rw. При этом положение фронта закачиваемой жидкости определяется из баланса массы закачиваемой жидкости.
В случае закачки с постоянной скоростью через скважину радиуса r0 выражение для Rw имеет вид . 1.3.9 Соответствующие радиусы зоны загрязнения и термических возмущений определяются в пунктах 2.1 и 3.1. 1.4. Задача теплопереноса 1.4.1.