Математическая постановка задачи теплопереноса и её обезразмеривание. Рассмотрим задачу о распространении радиоактивных примесей в пористом глубоко залегающем пласте, в который закачивается жидкость с растворёнными радиоактивными веществами.
Такая задача является фундаментальной для подземного захоронения радиоактивных отходов и отходов химических производств. Одним из способов прогнозирования динамики поведения радиоактивных и химических примесей в глубокозалегающих пластах, является исследование их температурных полей.
Современные приборы и методики измерения температуры позволяют проводить оперативные измерения с точностью, превосходящей тысячные доли градуса. Температурные измерения в таких условиях можно использовать для контроля продвижения радиоактивной зоны. Соответствующие температурные аномалии возникают как за счет отличия температуры закачиваемой жидкости от естественной температуры пластов, так и за счет энергии, выделяющейся при распаде радиоактивных веществ.
В результате одного акта радиоактивного распада выделяется энергия 1МэВ. Согласно действующим в России Нормам радиационной безопасности и санитарным правилам высокоактивными жидкими радиоактивными отходами РАО признаются отходы, активность которых 1 Ки л. Следовательно, для высокоактивных отходов выделяемая мощность оказывается порядка 5 Вт м3. Причём, для средне- и долгоживущих нуклидов эта мощность мало меняется на протяжении лет и даже десятилетий.
Выделяемая энергия является весьма существенной и приводит к значительному изменению температурного поля. На рис. 1.1 представлена геометрия задачи в цилиндрической системе координат, ось z которой совпадает с осью скважины. Среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела z h. Закачка примесей в область h z h производится из скважины радиуса r0 покрывающий кровля и подстилающий подошва пласты считаются непроницаемыми средняя область толщины 2h является пористой все пласты считаются однородными и анизотропными по теплофизическим свойствам.
Рис. 1.1. Геометрия задачи теплопереноса Через скважину малого по сравнению с расстоянием до точки наблюдения радиуса в горизонтальный бесконечный пласт толщиной закачивается вода с радиоактивным загрязнителем. В поступающей в пласт жидкости при поддерживаются постоянная температура и концентрация примеси. В общем случае температура и концентрация загрязнителя в пласте изменяются за счёт конвективного переноса вдоль направления, радиальной теплопроводности и диффузии вдоль, теплопроводности и диффузии вдоль, за счёт наличия тепловых источников и источников концентрации в нашем случае такими источниками является радиоактивный распад загрязнителя. В окружающих средах имеет место теплопроводность и диффузия вдоль и радиальная теплопроводность и диффузия вдоль. В пласте концентрация примеси, температура коэффициент диффузии вдоль равен, коэффициент теплопроводности коэффициент радиальной диффузии коэффициент радиальной теплопроводности в покрывающих пласт породах соответственно в подстилающих породах Кроме того, постулируются условия равенства температур и концентраций, а также плотностей тепловых и диффузионных потоков на границах соприкосновения, накладываются начальные и граничные условия.
В начальный момент времени везде и в бесконечно удалённых точках всегда концентрации примеси в пласте и в окружающих средах равны нулю. Математическая постановка задачи теплопереноса для всех областей, таким образом, включает уравнение теплопроводности с учётом радиоактивного распада в покрывающем 1.4.1 и подстилающем 1.4.2 пластах, а также уравнение конвективного переноса с учётом радиоактивного распада в пористом пласте 1.4.3 Сомножитель при во втором слагаемом в левой части уравнения 1.4.3 в развёрнутом виде. Условия сопряжения включают в себя равенство температур , 1.4.4 и потоков тепла на границах раздела пластов . 1.4.5 В уравнениях 1.4.1 - 1.4.3 учтено, что плотность радиоактивного нуклида в данной точке пространства определяется суммой плотностей в носителе и в скелете, которые связаны соотношением 1.3.4 . В начальный момент времени температура пластов является естественной невозмущённой температурой Земли на данной глубине.
Рассматривая глубины, превышающие порог влияния сезонных температур 100 м, будем считать, что в силу малой величины градиента температурного поля Земли 0.01 К м и небольшой толщины пористого пласта 10 м 1.4.6 Температура загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, равна . 1.4.7 Будем в дальнейшем искать превышение температуры в пластах над естественной температурой, выраженное в единицах геотермической температуры в пористом пласте. При решении задачи удобно перейти к безразмерным координатам, определяемым соотношениями 1.4.8 Сразу заметим, что в силу 1.3.7 . 1.4.9 Безразмерный параметр At представляет собой отношение времени тепловой релаксации слоёв к среднему времени жизни радиоактивного нуклида.
Выражение Ptявляется аналогом параметра Пекле, поскольку определяется аналогично последнему, но через температуропроводность настилающего, а не несущего пласта.
Величина определяет отношение изменения температуры, вызванного мгновенным распадом радиоактивного нуклида к разности температур закачиваемой жидкости и естественной геотермической температуры пласта.
Для больших температурное поле определяется в основном энергией радиоактивного распада, для малых - конвективным переносом тепла, обусловленного различием температур закачиваемой жидкости и пласта.
В силу большого значения аналога параметра Пекле Рt, в пористом пласте можно пренебречь радиальной кондуктивной теплопроводностью по сравнению с конвективным переносом тепла. Аналогично, для настилающего и подстилающего пластов изменение радиальной составляющей температурного поля будет в значительной мере определяться конвективным переносом тепла в пористом пласте, что позволяет пренебречь для них вкладом соответствующих радиальных теплопроводностей.
Таким образом, во всех уравнениях, получающихся из 1.4.1 - 1.4.3 исчезнут слагаемые, содержащие и интересующие нас уравнения запишутся в виде соответственно для настилающего, подстилающего и пористого пластов , 1.4.10 , 1.4.11 , 1.4.12 а условия сопряжения, граничные и начальные условия принимают вид , 1.4.13 1.4.14 , 1.4.15 1.4.16 1.4.17 Уравнения и равенства 1.4.10 - 1.4.17 представляют математическую постановку задачи теплопереноса. 1.3.1.