Академия России Кафедра Физики Лекция Операторные передаточные функции и их свойства Орел 2009 Учебные и воспитательные цели: Разъяснить слушателям сущность операторных передаточных функций, устойчивых и неустойчивых электрических цепей, критерий устойчивости Гурвица, а также связь ОПФ с комплексной передаточной функцией.Распределение времени лекции Вступление….5 мин. Учебные вопросы: 1. Определение операторных реакций в сложных цепях……… 15 мин. 2. Операторная передаточная функция…20 мин. 3. Устойчивые и неустойчивые электрические цепи. Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица………….35 мин. 4. Связь между ОПФ и КПФ….10 мин. Заключение…5 мин. 1. Определение операторных реакций в сложных цепях В общем случае -изображение искомого колебания находится путем составления и решения системы уравнений в операторной форме в 3 этапа.
Они могут быть составлены непосредственно по схеме цепи с использованием ранее изученных методов расчета, среди которых наибольшее распространение получили МУН и МКТ. В случае ненулевых начальных условий реактивные элементы должны быть отображены схемами замещения. 1 этап: система уравнений составленная по МУН для цепи имеющей N потенциальных узлов будет иметь вид: Здесь – сть сумма операторных проводимостей, подключенных к данному узлу, а – проводимость, связывающая этот узел с соседним "i"-м узлом.
В правые части входят -изображения задающих токов, подключенных к "k"-му узлу. Решая задачу по МКТ, следует, прежде всего, выбрать совокупность независимых контуров и, руководствуясь ранее полученным правилом, составить систему контурных уравнений. В этой системе будет представлять собой сумму сопротивлений входящих в "k"-й контур, а есть сумма сопротивлений, которые одновременно входят в "k"-й и "i"-й контуры.
Знаки слагаемых этой суммы определяются установленными ранее правилами. В правые части уравнений входят операторные источники ЭДС. Второй этап: нахождение изображения реакции (операторного напряжения или операторного тока). Если цепь содержит только один воздействующий источник (обозначим его ), то искомую реакцию можно найти по формуле: , где – минор определителя, относительно i й строки и k го столбца.
Важно отметить, что определитель и любые его миноры представляют собой рациональные функции (иначе, алгебраические дроби) оператора, все коэффициенты которых являются вещественными числами. Третий этап: применение обратного преобразования Лапласа, в результате чего находится. Такие действия производятся на основе формулы обращения Римана-Меллина и являются достаточно сложными.
Однако в частных случаях, имеющих большое прикладное значение, те же результаты могут быть получены более элементарным путем, а именно: – использование таблиц соответствия; – разложение на простые дроби или в ряд с последующим использованием таблиц соответствия. 2.
Тогда: . Рис. М. Электрические цепи, у которых свободные колебания, пока они малы, возр... 4.
Связь между ОПФ и КПФ КПФ образуется из ОПФ путем замены оператора на оператор, т.е. . . Если степень, в которую возводится оператор четная, то: , если же она нечетная, то. Отсюда следует вывод, что вещественные части полиномов представляют собой четные функции частоты, а мнимые – нечетные, т. е. можно в общем виде записать: , где – четные полиномы частоты. Возьмем модуль и аргумент и в результате получим: . Откуда: АЧХ:; ФЧХ:. По этим выражениям можно построить графики.
Литература 1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник); 2. Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. 3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства.
М.: Воен. издат 1974. (Учебник); 4. Попов В. П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник).