Условия физической реализуемости передаточных функций. а) Свойства операторных передаточных функций.
Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей : 1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы. 2. Полюсы передаточных функций располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной. На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции.
Выберем входное воздействие или в операторной форме.
Изображение выходного напряжения в этом случае численно равно, т.е. , где W(p)-полином числителя передаточной функции; А1, А2,… Аm-коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей. Перейдем от изображения к оригиналу : (1) где в общем случае. В пассивных и устойчивых активных четырёхполюсниках колебания на выходе четырёхполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что вещественные части полюсов должны быть отрицательными, т.е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной p. 3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т.е. . Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимало бы бесконечно большое значение (т.к. числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т.е. цепь обладала бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу. Итак, будем считать, что ОПФ соответствует УФР, если Т(р) имеет: - дробно-рациональную математическую конструкцию ( ); - вещественные коэффициенты ; - полином знаменателя – полином Гурвица V(p). б) свойства комплексных передаточных функций.
Из формулы (1) при Р=jщ получаем где – чётные части полинома, есть функции вещественные; – нечётные части полинома являются функциями мнимыми.
Из полученного выражения находим ; ; Таким образом, АЧХ является иррациональной четной функцией частоты щ, а ФЧХ – нечётной, трансцендентной функцией.
Для математического моделирования более удобной является функция поскольку она во всех случаях есть чётная дробно-рациональная функция. Её свойства вытекают непосредственно из свойств КПФ и АЧХ и позволяют в простом виде выразить УФР соответствующих математических моделей. Итак, для {АЧХ}2 эти условия имеют следующий вид: - дробно-рациональные математические конструкции; - вещественность коэффициентов; - чётность функций числителя и знаменателя; - {АЧХ}2 0 для всех щ Є(0, ). Свойства временных характеристик реальных цепей предлагается изучить самостоятельно.