Интегралы Дюамеля

Интегралы Дюамеля. Переходную характеристику часто используют для нахождения реакции цепи на сложное воздействие.

Установим эти соотношения. Условимся, что воздействие является непрерывной функцией и подводится к цепи в момент времени, а начальные условия – нулевые.

Заданное воздействие можно представить как сумму ступенчатого воздействия приложенного к цепи в момент и бесконечно большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непрерывно следующих друг за другом. Одно из таких элементарных воздействий, соответствующих моменту приложения показано на рисунке 2. Рис. 2 Найдем значение реакции цепи в некоторый момент времени. Ступенчатое воздействие с перепадом к моменту времени обуславливает реакцию, равную произведению перепада на значение переходной характеристики цепи при, т. е. равную: . Бесконечно малое же ступенчатое воздействие с перепадом, обуславливает бесконечно малую реакцию, где есть время, прошедшее от момента приложения воздействия до момента наблюдения.

Так как по условию функция непрерывна, то: . В соответствии с принципом наложения реакции будет равна сумме реакций, обусловленных совокупностью воздействий, предшествующих моменту наблюдения, т. е. . Обычно в последней формуле заменяют просто на, поскольку найденная формула верна при любых значениях времени : . Или, после несложных преобразований: . Любое из этих соотношений и решает задачу вычисления реакции линейной электрической цепи на заданное непрерывное воздействие по известной переходной характеристики цепи. Эти соотношения называют интегралами Дюамеля. 3. Импульсные характеристики электрических цепей Импульсной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных условиях.

По определению, где – реакция цепи на импульсное воздействие; – площадь импульса воздействия.

По известной импульсной характеристике цепи можно найти реакцию цепи на заданное воздействие:. В качестве функции воздействия часто используется единичное импульсное воздействие называемое также дельта-функцией или функцией Дирака.

Дельта-функция – это функция всюду равная нулю, кроме, а площадь ее равна единице ( ): . К понятию дельта-функция можно прийти, рассматривая предел прямоугольного импульса высотой и длительностью, когда (рис. 3): Рис. 3 Установим связь между передаточной функцией цепи и ее импульсной характеристикой, для чего используем операторный метод. По определению: . Если воздействие (оригинал) рассматривать для наиболее общего случая в виде произведения площади импульса на дельта-функцию, т. е. в виде, то изображение этого воздействия согласно таблицы соответствий имеет вид: . Тогда с другой стороны, отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине площади импульса воздействия, представляет собой операторную импульсную характеристику цепи: . Следовательно Для нахождения импульсной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа: , т. е. фактически.

Обобщая формулы, получим связь между операторной передаточной функцией цепи и операторными переходной и импульсной характеристиками цепи: . Таким образом, зная одну из характеристик цепи, можно определить любые другие.

Произведем тождественное преобразование равенства, прибавив к средней части. Тогда будем иметь. Поскольку представляет собой изображение производной переходной характеристики, то исходное равенство можно переписать в виде: . Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую определить импульсную характеристику цепи по известной ее переходной характеристике: . Если, то. Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет вид: . По передаточной функции легко установить наличие в составе функции слагаемого. Если степени числителя и знаменателя одинаковы, то рассматриваемое слагаемое будет присутствовать.

Если же функция является правильной дробью, то этого слагаемого не будет. Пример: определить импульсные характеристики для напряжений и в последовательной -цепи, показанной на рисунке 4. Рис. 4 Определим : . По таблице соответствий перейдем к оригиналу: . График этой функции показан на рисунке 5. Рис. 5 Передаточная функция : . Согласно таблице соответствий имеем: . График полученной функции показан на рисунке 6. Рис. 6 Укажем, что такие же выражения можно было получить с помощью соотношений, устанавливающих связь между и. Импульсная характеристика по физическому смыслу отражает собой процесс свободных колебаний и по этой причине можно утверждать, что в реальных цепях всегда должно выполняться условие: . 4.