Математические модели радиогеохимического эффекта. Математическая постановка задачи в указанных выше предположениях в одномерном случае включает уравнение для радиоактивных примесей в не-сущей жидкости (3.6) и в скелете пористой среды (3.7) где – пористость, , (3.8) . (3.9) Складывая (3.6) в (3.7), получим идентичные уравнения для плотности радиоактивного вещества в жидкости (3.10) и скелете пористой среды , (3.11) где скорость конвективного переноса примесей определяется выра-жением . (3.12) Так как химический потенциал является функцией от концентрации, то разложим его в ряд Тейлора вблизи точки равновесия растворенного вещест-ва . (3.13) Предполагается, что в равновесии химические потенциалы радиоак-тивных веществ равны. Пренебрегая в (3.13) слагаемыми по-рядка выше первого, получаем , (3.14) где. Для простоты считаем, что процесс фильтрации равновесный, так что концентрации радиоактивных веществ в жидкости и скелете пористой среды определяются из условия равенства химических потенциалов . (3.15) Такое же условие и для нефти в скелете . 3.1.1. Постановка задачи Исследование динамики примесей при поршневом вытеснении нефти водой из пористой среды приводит к краевым задачам математической физи-ки. В общем случае разработка данной теории требует совместного рассмот- рения уравнений (3.10) и (3.11) с краевыми условиями.
Однако плотности в скелете и насыщающей жидкости связаны равенством. Это со-отношение позволяет отыскивать решение только одного из уравнений, по-скольку второе решение находится умножением или делением на. Можно показать, что найденное таким образом второе решение будет удовлетворять соответствующему дифференциальному уравнению в частных производных. Краевые условия задачи определяются из очевидных соображений.
Требуется найти решение уравнения для жидкости , (3.16) в виде функции, удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти. Предполагается, что на левом конце стержня поддер-живается постоянная концентрация радиоактивного вещества, поэтому для подобласти граничное условие имеет вид . (3.18) Требуется найти решение уравнения для скелета , (3.17) в виде функции, удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти. В подобласти на правой подвижной границе поддержива-ется неизменной плотность радиоактивного вещества в скелете, поэтому гра-ничное условие для уравнения скелета имеет вид (3.19) Это условие определяет перенос радиоактивных веществ из нефтена-сыщеной зоны пористой среды в водонасыщенную. 3.1.2 Решение задач Найдем решение уравнения (3.16) в более общем виде. То есть для уравнения, с граничным условием . (3.20) для области Решение уравнений (3.16) находится методом характеристик. (3.21) Интегрируя первое уравнение системы (16), получаем (3.22) Из второго уравнения следует, что, где – некоторая по-стоянная.
Но т.к то. Найдем границы области в котором есть решение.
Пусть при, тогда Для начального момента, при и (3.23) Уравнение (3.23) представляет собой границу.
Параметризуем уравнение (3.22). Зададим так, чтобы получить значение при, т. е. . При , (3.24) (3.25) Подставляя значение параметра в (15) получим (3.26) Так как, то (3.27) Таким образом это выражение (3.27) есть решение уравнения (3.16) в более общем виде. Для частного случая, т. е. не зависит от, решение (3.28) Полученное решение (8) для плотности радиоактивного вещества в вы-тесняющей жидкости, удовлетворяет граничному условию для жидкости в подобласти. Решение для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим из условия равенства химических потенциалов . (3.29) Таким же образом, в более общем виде решим уравнение для скелета , (3.30) с граничным условием , (3.31) для области . (3.32) Интегрируя первое уравнение (3.32), получаем . (3.33) Из второго уравнения следует, что, где – некоторая посто-янная.
Но т.к то. Параметризуем уравнение (3.33): при , . Тогда ; ; Так как . . . (3.34) Подставим значение параметра (3.34) в граничное условие для скелета пористой среды , То теперь , (3.35) Выражение (3.35) есть решение уравнения для скелета (3.30) в общем виде. Частное решение получаем из (3.35) исключая . . (3.36) Полученное решение (3.36) для плотности радиоактивного вещества в скелете, удовлетворяет граничному условию подобласти. Используя соотношение (3.15) находим решение для плотности радио-активного вещества в вытесняющей жидкости подобласти по-лучим из условия равенства химических потенциалов . (3.37) Проверка значений на границах подобласти При, на правой границе ; (3.38) при и на левой границе . (3.39) Окончательное выражение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости имеет вид: (3.40) и для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим (3.41) Для области, занимаемой вытесняемой нефтью плотности ра-диоактивного вещества в скелете и нефти остаются неизменными: (3.42) Результирующая плотность радиоактивных веществ в пористой среде ρ+ складывается из плотности в насыщающей жидкости, скелете и нефти, по-этому окончательное выражение имеет вид (3.43) 3.3.