Математическая модель. Целесообразно, для круглого отверстия, использовать полярные координаты вместо прямоугольных. Пусть – полярные координаты произвольной точки отверстия: (4.1) (щ, ш) – координаты точки P в дифракционной картине, относящейся к геометрическому изображению источника, т.е. (4.2) Из определения полярных координат следует: щ = Запишем интеграл, описывающий дифракцию Фраунгофера (полное возмущение в точке P), в виде (4.3) здесь C – величина, определяющаяся через величины связанные с положениями источника и точки наблюдения, однако, на практике она удобнее выражается через другие величины. (4.4) л – длина световой волны; E – полная энергия, падающая на отверстие; D – площадь отверстия ; a – радиус отверстия; k – волновое число.
Т.к. интенсивность выражается формулой: (4.5) интенсивность в центре картины (p = 0,q = 0) равна (4.6) 5. РЕШЕНИЕ, АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ Решение поставленной задачи произведем по методу, изложенному в [1]. Если a принять за радиус круглого отверстия, то дифракционный интеграл (4.3) примет вид (5.1) Теперь используя интегральное представление функций Бесселя (5.2) (5.2) сведем уравнение (5.1) к (5.3) используя рекуррентное свойство бесселевых функций (5.4) (5.4) дающее после интегрирования для n = 0 (5.5) из (5.3) и (5.5) следует, что (5.6) ,где D = •a2. Следовательно, интенсивность определяется выражением (5.7) ,где I0 = C2D2 = ED/л2 – в соответствии с (4.6) Распределение интенсивности в окрестности геометрического изображения описывается функцией, график которой приведен в приложении 1. Она имеет главный максимум y = 1 при x = 0 и с увеличением x осциллирует с постепенным уменьшением амплитуды подобно функции распределения интенсивности при дифракции на прямоугольном отверстии.
Интенсивность равна нулю (минимум) при значениях x, определяемых J1(x) = 0. Положения вторичных максимумов определяются значениями x, удовлетворяющими уравнению, или, используя формулу (5.4) – корнями уравнения J2(x) = 0. Минимумы и максимумы не строго эквидистантны, при увеличении x, расстояния между последовательными максимумами или минимумами приближаются к  (см. рис.2. приложения 1) Корни уравнения J1(x) = J2(x) = 0 для нахождения минимумов и максимумов функции приведены в табл.5.1. Таблица 5.1 - Корни уравнения J1(x) = J2(x) = 0 На рис.3. приложения представлено семейство характеристик, описывающих конкретный случай, при a – const (a = 0.1•10-3 м) и различных длинах волн л (400 нм, 500 нм, 600 нм). Из графика видно, что угловой радиус щ прямо пропорционален длине волны падающего света.
На рис.4. приложения представлено семейство характеристик, описывающих конкретный случай, при л – const (л = 600•10-9 м) и различных радиусах отверстий a (1•10-4 м, 2•10-4 м, 3•10-4 м). Из графика видно, что угловой радиус щ обратно пропорционален радиусу отверстия.
При увеличении радиуса отверстия характеристика принимает более резкий характер. 6. Выводы В данном курсовом проекте была изучена функция распределения интенсивности света при дифракции от круглого отверстия и что она в действительности зависит от длины волны падающего пучка света, а также от радиуса отверстия.
Можно также заметить, что интенсивность светового пучка резко падает по отношению к первому максимуму I0 и соотносится между собой как 1000 : 17.5 : 4.2 : 1.6 : 0.8. Найденные результаты показывают, что наблюдаемая картина имеет вид светлого диска с центром в геометрическом изображении источника (p = 0, q = 0), окруженного светлыми и темными кольцами.
Интенсивность светлых колец быстро уменьшается с увеличением радиуса и обычно только одно или два первых кольца достаточно ярки, чтобы их можно было наблюдать невооруженным глазом. 7.