Компьютерное моделирование рассеяния рентгеновских лучей на молекулах и фрагментах кристаллических структур

Компьютерное моделирование рассеяния рентгеновских лучей на молекулах и фрагментах кристаллических структур. В настоящей работе проводился расчет характеристик рентгеновского излучения, рассеянного конечным множеством атомов в условиях дифракции Фраунгофера.

Первичное рентгеновское излучение представлялось плоской монохроматической волной с определенным волновым вектором k0 и длиной волны. Угловое распределение интенсивности рентгеновских лучей, рассеянных на конечном множестве атомов, представляется функцией I , Ф , зависящей от двух углов - полярного и азимутального Ф. Углы и Ф определяют направление на детектор рассеянных рентгеновских лучей, которое в условиях дифракции Фраунгофера совпадает с волновым вектором k рассеянной рентгеновской волны. Полярный угол отсчитывается от направления волнового вектора k0 первичной рентгеновской волны.

Азимутальный угол Ф откладывается в плоскости, перпендикулярной вектору k0. Азимут Ф представляет собой угол между проекцией волнового вектора k рассеянной волны на эту плоскость и произвольно выбранной азимутальной оси. Набор значений функции I , Ф для всевозможных значений аргументов и Ф часто называется дифракционной картиной. В нашей задаче рассматривается рассеяние рентгеновских лучей в переднюю полусферу.

Следовательно, полярный угол принадлежит диапазону 0 2 Азимутальный угол Ф принимает значения в интервале 0, 2 В качестве рассеивателей рассматривались молекулы и небольшие фрагменты кристаллов, т.е. трансляционно упорядоченных атомных структур.

Месторасположение всех атомов задавалось с помощью декартовой системы координат, ось Z которой совмещалась по направлению с волновым вектором k0. Так как задача решалась в рамках приближения дифракции Фраунгофера, то интенсивность рассеянного рентгеновского излучения представлялась формулой 3.37 . Алгоритм расчета углового распределения интенсивности рентгеновского излучения в условиях дифракции Фраунгофера был реализован в виде оригинальной компьютерной программы на алгоритмическом языке Object Pascal, разработанной в интегрированной среде Delphi-7. Программа позволяет задавать значения химического номера атомов для расчета функции атомного фактора, длины волны рентгеновских лучей.

Координаты центров атомов облучаемых объектов т.е. рассеивателей предварительно записывались во внешние файлы.

В программе предусмотрена возможность выбора облучаемого объекта из заданного набора рассеивателей.

Так как в качестве рассеивающих объектов используются как молекулы, так и фрагменты кристаллов, то входными параметрами программы также являются кристаллохимические радиусы атомов и радиусы сферически симметричных молекул кластеров. Для расчета дифракционной картины диапазоны полярного и азимутального Ф углов разбиты на интервалы и Ф соответственно, количество которых задается пользователем.

Для каждого интервала задано значение угла, согласно следующим формулам l l, l 1, n, Фm m Ф, m 1, nФ, 4.8 где nl и nm - количество интервалов разбиения полярного и азимутального углов соответственно. Числа nl и nm связаны с длинами интервалов и Ф следующими соотношениями n ? 2 и nФ 2? 4.9 Таким образом компьютерная программа позволяет рассчитать угловое распределение интенсивности рассеянных рентгеновских лучей в виде двумерного массива значений Il, m I l, m . 4.10 Величины и Ф определяют дискретность расчета дифракционной картины. Аргументы функции углового распределения интенсивности рентгеновского излучения 4.10 , рассеянного исследуемым образцом, т.е. значения углов l и m l 1 n m 1, nФ , представляют собой точки на полусфере.

Моделирующая программа визуализирует рассчитанное угловое распределение интенсивности рассеянного рентгеновского излучения Ii, j в виде двумерной плоской полярной диаграммы дифракционной картины. Полярный угол откладывается по радиусу от центра картины, азимутальный угол Ф - по дуге окружности против часовой стрелки.

Величина интенсивности рассеянного излучения I l, m представляется различным цветом и оттенками. В данной программе используются пять основных цветов коричневый, красный, желтый, бирюзовый и синий. Коричневый цвет отвечает максимальной интенсивности излучения, темно-синий - минимальной. Переход от одного основного цвета к следующему соответствует изменению интенсивности рассеянного излучения на порядок т.е. в 10 раз. Все рассчитанные угловые распределения интенсивности рассеянного рентгеновского излучения нормируются на интенсивность центрального максимума. а б Рис.4.1. Дифракционные картины рентгеновских лучей, рассеянных молекулой фуллерена C60. Длина волны рентгеновского излучения а 1,54 A, б 0,71 A. Ось симметрии 5-го порядка молекулы C60 параллельна волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны. а б Рис.4.2. Дифракционные картины рентгеновских лучей, рассеянных атомными кластерами. а икосаэдрический кластер, состоящий из атомов бора, ось симметрии 3-го порядка параллельна волновому вектору k0 б остаэдрический кластер, состоящий из атомов кремния, ось симметрии 4-го порядка параллельна волновому вектору k0 Длина волны рентгеновского излучения 0,71 A. На рис.4.1 4.2. приведены примеры полярных диаграмм углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей для разных рассеивателей и длин волн рентгеновского излучения.

На всех полярных диаграммах углового распределения интенсивности рассеянных рентгеновских лучей в центре дифракционной картины т.е. в окрестностях полярного угла 0 расположен центральный дифракционный максимум, интенсивность которого пропорциональна квадрату количества атомов рассеивающего образца.

Компьютерное моделирование рассеяния рентгеновских лучей позволило установить, что поворотная симметрия дифракционной картины соответствует точечной симметрии атомного кластера. Точнее говоря, если ось симметрии n-го порядка атомного кластера параллельна волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны, то дифракционная картина обладает поворотной симметрией n-го порядка относительно центра картины, т.е. точки с 0. Дифракционные картины рентгеновских лучей, рассеянных на фрагментах кристаллов, состоящих из многоатомных молекул, имеют более сложный вид. На рисунках 4.3 4.5. приведены некоторые характерные примеры. аб Рис.4.3. Дифракционная картина рентгеновских лучей, рассеянных фрагментом примитивной кубической решетки, содержащей в узлах молекулы фуллерена C60. Рассеивающий фрагмент содержит 8 молекул фуллерена C60. Длина волны рентгеновского излучения а 1,54 A, б 0,71 A. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны. аб Рис.4.4. Дифракционная картина рентгеновских лучей, рассеянных фрагментом примитивной кубической решетки, содержащей в узлах молекулы фуллерена C60. Рассеивающий фрагмент содержит 27 молекул фуллерена C60. Длина волны рентгеновского излучения а 1,54 A, б 0,71 A. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны. аб Рис.4.5. Дифракционная картина рентгеновских лучей, рассеянных фрагментом гранецентрированной кубической решетки, содержащей в узлах молекулы фуллерена C60. Рассеивающий фрагмент содержит 14 молекул фуллерена C60. Длина волны рентгеновского излучения а 1,54 A, б 0,71 A. Оси симметрии 5-го порядка молекул C60 параллельны волновому вектору k0 первичной рентгеновской волны.

Легко видеть, что дифракционные картины рентгеновских лучей, рассеянных фрагментами кристаллов, вообще говоря, теряют поворотную симметрию свойственную отдельным молекулам или атомным кластерам.

Для исследования симметрийных особенностей дифракционных картин типа представленных на рис.4.3 4.5. целесообразно использовать расчеты поворотной псевдосимметрии. 3.1.3.