УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ. Уравнением состояния называется уравнение вида p p, T, связывающее изменение плотности с изменением давления и температуры.

С адиабатой Пуассона мы уже знакомы p p7 Если 1, то получается закон Бойля Мариотта, то есть изотермическое уравнение состояния p p0 0. 8 Для многих конденсированных жидких или тврдых сред эмпирически установлено уравнение в форме Тэта P.G.Tait, внешне похожее на уравнение адиабаты Пуассона pp 9 Здесь p не давление, а некий эмпирический параметр. Хотя он и имеет размерность давления, но его принципиально нельзя измерить манометром. Можно именовать его квазидавлением.

Если знать способ определения показателя степени, то из уже известной формулы C02 p0 можно вычислить величину p. В книге Зельдовича и Райзера уравнение Тэта записано по-американски, в виде p AVV0n 1. Для воды А p 3000 атм, n 7. 3. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА. Будем рассматривать для простоты только плоские продольные волны. Можно представить, что их генерирует гигантский даже безграничный лист фанеры, который кто-либо двигает поступательно.

На звуковых частотах поглощение на длине волны и в воде и в воздухе чрезвычайно малы. На этом основании упростим уравнения 5 и 6 и запишем их в бездиссипативном приближении для плоской одномерной волны 10 11 Кстати, 10 это уравнение Л.Эйлера Euler, петербургского академика. Уравнения нелинейные. Одно из решений было найдено Б.Риманом Riemann, гттингенским профессором, для случая, когда можно считать связи между p, и простыми, то есть p p и . 12 А какие ещ могут быть зависимости А может быть ещ зависимость от скорости деформации, если среда, например, релаксирует или если присутствует диссипация.

В этом случае Волны в средах с простыми связями типа 12 называются простые волны. Подставим 12 в 10 и 11 , 13 14 Из уравнения 13 получается 15 Мы будем следить за распространением какой-либо определнной точки профиля волны, то есть точки с некоторой скоростью 1 и плотностью 1. Этот факт можно записать в виде x, t const 1. Тогда xt1 U1 скорость распространения некоторой точки профиля акустической волны.

Больше не будем писать 1, так как это произвольная точка, а будем писать просто. По правилу дифференцирования неявных функций из Бронштейна и Семендяева Подставим сюда t из 15. Тогда . 16 Аналогично, используя уравнение неразрывности 14, получим . 17 Так как волны простые, то есть существует однозначная связь и только от, то скорости 16 и 17 равны. U U U. Здесь Это линейно-акустическая скорость звука в веществе с плотностью, то есть именно скорость звука в веществе с плотностью, но не скорость распространения точки профиля Отсюда 18 19 Здесь, конечно, использовано C2 p. Вспомним, что для скачка давления p у нас получалось соотношение p0 D. И, наконец, можно поверить, а можно проверить, что если в 19 подставить уравнение состояния p0 pp0 0 и отбросить при условии малости pp0 малые члены с p2, то получится линейно-акустическая формула р0 C0. Какова скорость распространения некоторой фиксированной точки профиля волны Воспользуемся 18 и C2 p. 20 Из формулы 17 получается, конечно, то же самое Для того, чтобы выразить U через хорошо бы получить зависимость С C. Это можно сделать, подставив в 19 зависимость С С. Из 7 21 Теперь из19 Окончательно 22 Это точная формула.

В том смысле, что нет ограничений на амплитуду волны.

Но, конечно, волны должны быть плоскими, простыми, а среда бездиссипативной. Отсюда U C0 1 M 23 Здесь 12 . Формула 23 очень важная и полезная. Из этой формулы ясно, почему а, иногда, и называют нелинейным акустическим параметром. 4. СКОРОСТЬ ФРОНТА УДАРНОЙ ВОЛНЫ. Оказалось, что скорости распространения разных точек профиля акустической волны различны.

Чем больше значение массовой скорости в некоторой точке профиля волны, тем больше скорость распространения этой точки профиля. При 0 скорость распространения совпадает с линейно-акустической скоростью звука С0. Задумаемся, к чему может привести такая зависимость U. Будем наблюдать за распространением полупериода синусоиды рис. 3, 1. Через некоторое время это волна Рис. 3. окажется в другом месте рис. 3, 2. Точки профиля А и В будут распространяться со скоростью С0 и пройдут некоторый путь х0. Точка Б будет бежать быстрее и пройдт бульший путь х1. Все другие точки будут распространяться со скоростями бульшими, чем С0 согласно формуле 23. Профиль волны при этом исказится рис. 3, 2. При дальнейшем распространении профиль исказится настолько, что возникнет многозначность рис. 3, 3. Одному значению координаты будет соответствовать два значения массовой скорости.

И, конечно, два значения плотности и давления.

В природе так не бывает. На самом деле на месте многозначности профиля возникает резкий скачок давления, плотности, массовой скорости. В зависимости от амплитуды он может быть и достаточно плавным и резким, разрывным. В этом случае этот разрыв называется фронтом ударной волны. Как можно себе представить разрыв плотности видно из рис. 4. На нм показаны молекулы, например, тврдого тела. В той области, куда пришла ударная волна УВ, плотность большая, вещество сжато. Но молекулы левее фронта ещ не знают, что пришла ударная волна и получается, что ширина фронта УВ порядка межмолекулярного расстояния. p p0, 0, 0 Рис. 4. Если УВ распространяется в газе, то ширина фронта может быть порядка длины свободного пробега.

Конечно, для этого волна должна иметь достаточно большую амплитуду. Найдм теперь зависимость скорости распространения разрыва, то есть фронта УВ от массовой скорости D D. Из 1 Теперь сюда нужно подставить зависимость. Из 21 можно получить зависимость С Подставим сюда С из 22 отсюда 24 Это тоже точная формула, но в рамках принятой нами модели.

Теперь упростим 24 для слабых УВ. Критерием слабости УВ будет малость второго члена в скобках в 24. Он мал, если С0 M 1. Разложим бином в скобках по формуле Ньютона Итак, при М 1 25 Это тоже очень важная формула. Смысл е таков при небольших М скорость фронта ударной волны D линейно растт с увеличением массовой скорости. Без вывода заметим, что для знакопеременной симметричной волны массовой скорости например, синусоидальной формы формула 25 будет иметь вид Г.А.Остроумов 26 5.