Часть 1.Анализ цепи вовременной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Дано Для схемы U0 t U0 const U0 5 Вi0 t I0d1 t I0 2 A1.1 Составить уравнения состояния для цепи при t sup0.Переменными состояния для данной схемы будут являтьсянапряжения на емкостях С1 и С4. Для нахождения уравнений состояния запишем уравненияпо I и II законамКирхгофа 1 Для нахождения производных переменных состояния решимследующую систему, полученную из системы 1 , приняв за неизвестные все токи,участвующие в системе 1 и первые производные переменных состояния.
Переменныесостояния примем за известные величины для получения их в правой частиуравнений состояния 2 Решаем эту системув матричном виде с помощью MathCad Таким образом, уравнения состояния будут иметьвид 1.2 Сначала найдемкорни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленнойиз коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния Общий вид точных решений уравнений состояния Вынужденные составляющие найдем как частноерешение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены толькопостоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будутконстантами, соответственно производные принужденных составляющих будут равнынулю.
Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующимспособом Начальные условия находятся из схемы Для нахождения постоянных интегрирования A1, A2, A3, A4 требуется4 уравнения.
Первые два уравнения получим из выражений точного решенияуравнений состояния, учитывая законы коммутаций переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации.При t 0 Далее найдем значения производных переменных состоянияпри t 0 из уравнений состояния Выражения этипроизводных найденные из выражений решения уравнений состояния При t 0 Таким образом имеем 4 уравнения для нахожденияпостоянных интегрирования, находим их Точные решения уравнений состояния 1.2 Найти решения уравнений состояния, используя один изчисленных методов.Для численного решения уравнений состояниявоспользуемся алгоритмом Эйлера Подставляя выражения производных из уравненийсостояния h шаг расчета 2 10-6 с. i 100. Переменными с нулевыми индексами являются значенияначальных условий. 2.2 Найти точные решения уравнений состояния. второйспособ e A t a0 a1 A e A t X e A t-1 A -1 B 1.4 Построить точные и численные решения уравненийсостояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменнойсостояния.
Часть 2.Анализу подлежитследующая цепь Параметры импульса Um 10 В tu 6 10-5cФорма импульса 2.1 Определить функцию передачи воспользуемся методом пропорциональных величин иопределим u t 1 t , его Лапласовоизображение U0 s 1 s.Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторнойформе, учитывая, что начальные условия нулевые Решаем эту систему Таким образом Функция передачи 2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскостькомплексной частоты. Полюсы Нули Плоскость комплексной частоты 2.3 Импульсная характеристика Выделим постоянную часть в HU s Числитель получившейся дроби Упрощенное выражение HU s Для нахождения оригинала воспользуемся теоремойо разложении.
Для этого найдем производную знаменателя Коэффициенты разложения Оригинал импульсной характеристики Переходнаяхарактеристика Этим же методом находим оригинал характеристики 2.4 Изабражение по Лапласуфукции f t Входной импульс представляет собой функцию Поэтому изображение входного сигнала будет 2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя HU s .Изображение выходного сигнала Найдем отдельно оригиналы части выражения при и причасти, не имеющей этого множителя Для части выражения при ,используя теорему оразложении Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему оразложении Функция напряженияна выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала 2.6 Построить на одном графике переходную и импульснуюхарактеристики цепи, на другом входной и выходной сигналы.Переходная h1 t и импульсная h t характеристики.Входной и выходной сигналы.Часть 3.Анализ цепи частотным методом приапериодическом воздействии.3.1 Найти и построитьамплитудно-фазовую АФХ , амлитудно-частотную АЧХ и фазо-частотную ФЧХ характеристики функций передачи HU s .амплитудно-фазовая характеристика амплитудно-частотная характеристика фазо-частотная характеристика График АЧХ График ФЧХ 3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 7. Изграфика АЧХ находим полосу пропускания цепи с-3.3Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 1.Амплитудныйспектр входного сигнала Фазовый спектр входного сигнала График амплитудного и фазового спектравходного сигнала Ширина спектра с-1 . 3.4Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, датьпредварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.Существенная частьамплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания,исключая полосу 0-5 104 с-1, где и будут наблюдатьсяосновные амплитудные искажения.
Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна,поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис. 3.5 Найти и построитьамплитудный и фазовый спектр выходного сигнала. Получаются по формулам 3.6 Определить выходной сигнал по вещественнойчастотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.Вещественнаяхарактеристика Существенную часть этойхарактеристики кусочно-линейно аппроксимируем.
Начертим первую и вторую производную кусочно-линейнойаппроксимирующей функции.График вещественной характеристики Тогда График напряжения,вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2. Часть4.Анализ цепи частотным методом при периодическомвоздействии.Дано T 18 10-5c. Um 10 В. tu 6 10-5c.форма сигнала u0 t 4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическуюпоследовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры.Коэффициентыряда Фурье для u0 t найд м изследующего соотношения где w1 2p Т , k 0, 1, 2, w1 3.491 104с.Значения Ak и ak приведены в табл. ,на рис построены соответственно амплитудный ифазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u0 t . k Ak ak 0 0 0 1 2.067 0.524 2 3.308 -0.524 3 2.774 -1.571 4 2.363 -2.618 5 1.034 2.618 6 0 1.571 7 0.413 -2.618 8 0.301 2.618 9 0 1.571 Таким образом, в соответствии с шириной спектра.4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательностьимпульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которогоопределяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3.4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функциипередачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка рядаФурье.Дляопределения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХи ФЧХ функции передачи для значений kw1, k 0, 1, 2, 8. Тогда k Ak ak 0 0 0 1 0.208 1.47 2 0.487 -0.026 3 0.436 -1.355 4 0.361 -2.576 5 0.15 2.554 6 0 1.443 7 0.054 -2.785 8 0.037 2.429 9 0 1.371 Витоге получим 4.4 Построить напряжение навыходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье.