Министерство Образования, Молодежи и Спорта Республики Молдова Государственный университет Молдовы Физический факультет Кафедра теоретической физики Курсовая Работа Тема Электрон в слое. Руководитель работы Климин С.Н. Работу выполнил студент 3-го курса Радченко Андрей Кишинв 1997 г.Микрочастица электрон в слое. Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путм введения некоторых упрощений.Она состоит в следующем Микрочастица электрон движется вдоль оси x, и е движение полностью определяется следующим гамильтонианом 22m2x2 U0 , x a H 22m02x2 , a x a 22m2x2 U0 , x a Где m - эффективная масса электрона в областях I , III m0 - эффективная масса электрона в области II. Запишем уравнение Шрдингера для каждой области 2Ix2 2m2E U0I 0 , x a 2IIx2 2m02EI 0 , a x a 2IIIx2 2m2E U0I 0 , x a Область I Общий вид решения уравнения Шрдингера для 1-ой области записывается сразу Ix Aexpnx Bexpnx.
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придм к тому что B 0. Значит, Ix Aexpnx.
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется IIx Cexpikx Dexpikx. Функция состояния для третьей области выглядит так IIIx Fexpnx.Где k 2m0E212 n 2mU0E212. Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них. Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечм уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций Ixa IIxa IIxa IIIxa Ixam IIxam0 IIxam0 IIIxam А в наших определениях этих функций это выглядит так Aexpna Cexpika Dexpika m1A nexpna ikm0Cexpika Dexpika Cexpika Dexpika Fexpna ikm0Cexpika Dexpika nmFexpna. Теперь составим определитель expna expika expika 0 m1nexpna 1m0ikexpika 1m0ikexpika 0 0 expika expika expna 0 1m0ikexpika 1m0ikexpika 1mnexpna Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии nm2 km02Sin2ka 2knmm0Cos2ka 0. Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдм неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции.
Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.C Fexpnaexpika exp3ika ikm0 nmnm ikm0 D Cexp2ika ikm0 nmnm ikm0 A expnaCexpika Dexpika . Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения A RAF C RCF D RDF. RA, RC, RD - известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки. Действительно Ix FRAexpnx IIx F RCexpikx RDexpikx. IIIx Fexpnx.I1 I2 I3 1 Где I1 F2RA2exp2nxdx F2RA22n1exp2nx F2RA22n1exp2na I2 F2 RC2dx RD2dx RCRDexp2ikxdx RCRDexp2ikxdx F2 2aRC2 RD2 exp2ika exp2ikaRCRD2ik iexp2ika exp2ikaRCRD2k I3 F2exp2nxdx F22n1exp2na F2 RA22n1exp2na 2aRC2 RD2 exp2ika exp2ikaRCRD2ik iexp2ika exp2ikaRCRD2k 2n1exp2na 1. Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью.Схематически это изображается так. То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто UxUx2a 1 Соотношение 1 записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера 2x2 2m2E U0 0 следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом expi 2ak Тогда x2ma xm , где m0, 1, 2 Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра рассматривается только случай когда E U0 и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением 2, мы определим волновую функцию на всей действительной оси. Рассмотрим область I Уравнение Шредингера для нее записывается в виде 2Ix2 2m22E U0I 0 , 0 x a его решение выглядит просто Ix Aexpnx Bexpnx.
Где n 2m2 U0-E 212 Рассмотрим область II Уравнение Шредингера для нее записывается в виде 2IIx2 2m12E II 0 , a x 0 его решение выглядит просто IIx Cexpipx Dexpipx.Где p 2m1E212 Рассмотрим область III 2IIIx2 2m22E U0III 0 , 2a x a его решение выглядит просто IIIx Aexpnx Bexpnx.
Запишем граничные условия Ix0 IIx0 IIIxa Ix0m IIx0m0 IIxam0 IIIxam Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D ABCD C expi p aD exp-i p a expi 2 a k A expn aB exp-n a A-B nm2 C-D i p m1 C expi p a-D exp-i p a i p m1 expi 2 a k nm2 A expn a-B exp-n a Следуя приведнным выше соображениям, мы составим определитель 1 1 1 1 expik2ana expik2ana expipa expipa nm2 nm2 ipm1 ipm1 nm2expik2ana nm2expik2ana ipm1expipa ipm1expipa и приравняем его к нулю. Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже. a10 U10 m14 m21 0.1135703312666857 0.6186359585387896 0.2019199605676639 0.3155348518478819 0.05047267055441365 1.263391478912778 0.4544326758658974 2.137353840637548 0.808172718170137 2.479933076698526 0.4544326758658974 6.168062551132728 5.611693924351967 1.820461802850339 1.529165865668653 1.023077302091622 a10 U10 m12 m21 0.10327880241786550.23242389596287210.41 331603936642 0.64604904604488860.9307509395552831.267 59057783714 1.6567871957992962.098624192369327 2.5934693596079373.141805331837109 3.7442770728609025.887485640841992 a10 U10 m11 m21 0.054081204691054410.21638029582971310.4 8706815549650610.866445334694181.3549692 241175341.9533007297147782.6623838179195 134.4189662184480887.961581805911094 a10 U10 m10.5 m21 0.118992095909544 4.2495617109300341.0680042823761460.4754 473139332004 5.782167247253562.9553456794696311.89501 2565781256 a10 U10 m1.25 m21 0.2898665804439349 4.300268514462482.4790394156456161.13226 4393019809.