Реферат На тему Движение в центральном симметричном поле Студента I го курса гр. 107 Шлыковича Сергея Минск 2001 Немного теории. Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля UUr. Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля. Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L const. где L вектор момента импульса, а K момент силы K rF. Уравнение получается из уравнения L rp. Определим производную по времени от момента импульса частицы.
Согласно правилу дифференцирования произведения имеем Так как - есть скорость v частицы, а p mv, то первый член есть m vv и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким образом Поскольку момент L mrv перпендикулярен направлению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля. Данное уравнение можно записать в виде где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма.
Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA , описанного радиусом-вектором движущейся точки за время dt. Обозначив эту площадь через dS, можно записать величину момента в виде Величина называется секториальной скоростью.
Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел. Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц.
В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю m1v1m2v20, где v1,v2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц v v1-v2. Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость.
Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим где Ur - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r. После простого приведения членов получим , где m обозначает величину называемую приведенной массой частиц.
Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m двигалась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией Ur. Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной приведенной частицы во внешнем поле. Постановка задачи.Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил представим скорость в полярных координатах Рассмотрим треугольник ABD dsAB, следовательно , откуда получаем Выразим Осталось выразить характер траектории Подставим выражение в Проинтегрируем Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле. Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля где Попробуем найти этот интеграл предварительно сделав замену Сделаем замену , тогда Далее применим формулу В итоге получаем , где Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля. При e 1 гипербола e 1 парабола 0 e 1 эллипс e 0 окружность Литература 1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц Курс общей физики.
Механика и молекулярная физика Москва 1965 г. 2. Конспект по механике за первый триместр. Лектор Гурачевский В. Л.