Рефератпо стереометрииУченика11 Спасибоза внимание !29.10.1995 г.Школа 1278, кл. 11 В .Движения.Преобразования фигур.При создании реферата были использованы следующиекниги 1. Геометрия для 9-10 классов . А.Д.Александров,А.Л.Вернер, В.И.Рыжик.2. Геометрия . Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцеви др.3. Математика . В.А.Гусев, А.Г.Мордкович.Все рисунки находятся на отдельном листе, приложенномк реферату.Решения задач также на отдельном листе.
Доказательства основных теорем,связанных с движением, я также привожу на отдельных листках.В реферате - толькоопределения и классификация.Движением в геометрии называется отображение, сохраняющеерасстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом отображение .1.Отображения, образы, композиции отображений. Отображениеммножества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственногоэлемента из N. Мыбудем рассматривать только отображение фигур в пространстве.
Никакие другие отображенияне рассматриваются, и потому слово отображение означает соответствие точкам точек.Оточке X , соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она являетсяобразом точки X, и пишут X f X . Множество точек X , соответствующих точкамфигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначаетсяM f M . Еслиобразом M является вся фигура N, т.е. f M N, то говорят об отображении фигурыM на фигуру N. Отображениеназывается взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двухразличных точек различны.
Пустьу нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точкаX множества N является образом только одной единственной точки X множестваM. Поэтому каждой точке X N можно поставить в соответствие ту единственную точку X M, образом которойпри отображении f является точка X . Тем самым мы определим отображение множестваN на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначаетсяf.
Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.Неподвижнойточкой отображения jназывается такая точка A, что j A A. Изданных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, тообратное ему отображение f также обратимои f f. Поэтому отображения f и f называютсятакже взаимно обратными. Пустьзаданы два отображения отображение f множества M в множество N и отображение gмножества N в множество P. Если при отображении f точка X N перешла в точку X f X N, а затем X при отображении g перешла в точку X P, то тем самымв результате X перешла в X рис.1 . Врезультате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображениеh называется композицией отображения f с последующим отображениемg.
Еслиданное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображениеf , вернем, очевидно, все точки в исходноеположение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждойточке сопоставляет эту же точку.2.Определение движения. Движением или перемещением фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двумее точкам A и B соответствуют такие точки A и B , что A B AB . рис.2 . Тождественноеотображение является одним из частных случаев движения.
ФигураF называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением. 3.Общие свойства движения. Свойство1 сохранение прямолинейности . Придвижении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой,причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образамидвух других точек сохраняется порядок их взаимного расположения . Доказательство.Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда,когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C,т.е. когда выполняется равенство AB BC AC . Придвижении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняетсяи для точек A , B , C A B B C A C . Такимобразом, точки A , B , C лежат на одной прямой и именно точка B лежит междуA и C . Изданного свойства следуют также еще несколько свойств Свойство2. Образом отрезка при движении является отрезок. Свойство3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч. Свойство4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник,образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельныеплоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.
Свойство5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства- все пространство, образом полупространства - полупространство.
Свойство6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на уголтого же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.
Сначалая рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.4.Параллельный перенос. Определение.Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение,при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния рис.3 , т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляютсятакие точки X и Y , чтоXX YY . Основноесвойство переноса Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления,т.е.X Y XY. Отсюдавыходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направлениеи наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.
Изэтих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов естьпараллельный перенос.
Параллельныйперенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например,если указано, в какую точку A переходитданная точка A, то этотперенос задан вектором AA , и это означает, что все точкисмещаются на один и тотже вектор, т.е. XX AA для всех точек Х.5.Центральная симметрия. Определение1. Точки A и A называются симметричными относительно точки О, если точкиA, A , O лежат на одной прямой и OX OX . Точка О считается симметричной сама себе относительно О . Двефигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки однойфигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.
Какчастный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точкиО. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура - центрально-симметричной. Определение2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображениеэтой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительноО. Основноесвойство Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяетна противоположное.
Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуюттакие точки X и Y , чтоX Y - XY. Доказательство.Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились наX и Y . Тогда, как ясно из определения центральной симметрии рис.4 , OX -OX, OY -OY.Вместе с темXY OY - OX, X Y OY - OX .Поэтому имеем X Y -OY OX -XY. Отсюдавыходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направлениена противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление напротивоположное, есть центральная симметрия.
Центральнаясимметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек если точкаА отображается на А , то центр симметрии - это середина отрезка AA .6.Зеркальная симметрия отражение в плоскости . Определение1. Точки A и A называются симметричными относительно плоскости a, если отрезокAA перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам.
Любая точка плоскости a считается симметричнойсамой себе относительно этой плоскости рис.5 . Двефигуры F и F называются симметричными относительно данной плоскости, еслиони состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. еслидля каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.
Еслипреобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигураназывается симметричной относительно плоскости a,а плоскость a - плоскостьюсимметрии. Определение2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричнаяей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости или зеркальной симметрией . Теорема1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, являетсядвижением.
См.Доказательство 1. Теорема2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, являетсяотражением в этой плоскости или тождественным отображением. Зеркальнаясимметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскостисимметрии плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющегоэти точки, перпендикулярно к нему.7.Поворот вокруг прямой.Дляболее четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот наплоскости около данной точки.
Поворотом на плоскости около данной точки называетсятакое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачиваетсяна один и тот же угол в одном и том же направлении рис.6 . Перейдем теперь к поворотув пространстве.Определение.Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол j называется такоеотображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходитповорот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол j в одном и том женаправлении рис. 7 . Прямая a называется осью поворота,а угол j- углом поворота.
Отсюдавидим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота. Теорема1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением. См.Доказательство 2. Теорема2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точекпрямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой. 7.1.Фигуры вращения.Фигураназывается фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокругкоторой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры.
Простейшие тела вращения шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.7.2.Осевая симметрия. Частнымслучаем поворота вокруг прямой является поворот на 180 . При повороте вокруг прямойa на 180 каждая точка A переходит в такую точку A , что прямая a перпендикулярна отрезкуAA и пересекает его в середине.Про такие точки A и A говорят, что они симметричныотносительно оси a. Поэтому поворот на 180 вокруг прямой являетсяназывается осевой симметрией в пространстве.8.1.Неподвижные точки движений пространства.
Важнойхарактеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек.Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев 1. Удвижения неподвижных точек нет нетождественный параллельныйперенос .2. Движениеимеет лишь одну неподвижную точку центральная симметрия .3. Множествонеподвижных точек движения пространства является прямой поворот вокруг прямой .4. Множествонеподвижных точек движения пространства является плоскостью зеркальная симметрия .5. Множествонеподвижных точек движения пространства является всем пространством тождественное движение . Даннаяклассификация очень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.8.2.Основные теоремы о задании движений пространства.
Теорема1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A B C . Тогдасуществуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A вA , B в B , C в C . Каждое из этих движений получается из другого с помощью композицииего с отражением в плоскости A B C . Теорема2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A B C D . Тогдасуществует единственное движение пространства j,такое, что j A A , j B B , j C C , j D D . 9. Два рода движений.
Следуеттакже знать, что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того,непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятиебазиса и его ориентации.9.1.Базисы и их ориентация.
Базисомв пространстве называется любая тройка векторов, непараллельныходновременно никакой плоскости.Тройкабазисных векторов называется правой левой , если эти векторы, отложенныеот одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательныйи средний пальцы правой левой руки. Еслиимеются две правые левые тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированыодинаково.
Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированыпротивоположно.9.2.Два рода движения. Движенияпервого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры.Они могут быть реализованы непрерывными движениями. Движениявторого рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную.Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.Примерамидвижений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второгорода - центральная и зеркальная симметрии.
Композициейлюбого числа движений первого рода является движение первого рода. Композициячетного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетногочисла движений 2 рода - движение 2 рода. 10.Некоторые распространенные композиции. Рассмотримтеперь некоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но не уделяяим особого внимания.10.1.Композиции отражений в плоскости.Теорема1. Движение пространства первого рода представимо в виде композиции двухили четырех отражений в плоскости.
Движениепространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в видекомпозиции трех отражений в плоскости. Отсюдамы можем объяснить уже известные нам движения так Композиция отражения в 2 параллельныхплоскостях есть параллельный перенос. Композиция отражения в 2 пересекающихсяплоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей.Центральная симметрия относительно даннойточки является композицией 3 отражений относительно любых 3 взаимно перпендикулярныхплоскостей, пересекающихся в этой точке. 10.2.Винтовые движения.
Определение.Винтовым движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельныйоси поворота. Представление о таком движении дает ввинчивающийся или вывинчивающийсявинт. Теорема2. Любое движение пространства первого рода - винтовое движение в частностиповорот вокруг прямой или перенос .10.3.Зеркальный поворот.Определение.Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол j называется композицияповорота вокруг оси a на угол jи отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота. Теорема3. Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку,является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной илизеркальной симметрией.10.4.Скользящие отражения.
Определение.Скользящим отражением называется композиция отражения в некоей плоскости и переносана вектор, параллельный этой плоскости.Теорема4. Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, естьскользящее отражение.
ТеоремаШаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, либо параллельнымпереносом. Движениеплоскости второго рода является скользящим отражением.Примечание К реферату прилагаются 7 рисунков,2 письменных доказательства теорем и решения задач.СПАСИБОЗА ВНИМАНИЕ !Реферат составлен и напечатан Николаем Алексеенков редакторе Word for Windows 6.0.