Закон Био— Савара

В ходе изучения электростатики мы нашли, что электриче­ское поле известного распределения зарядов может быть получено сразу в виде интеграла [уравнение (4.16)]

 

Как мы видели, вычислить этот интеграл (а их на самом деле три, по одному на каждую компоненту) обычно бывает труднее, чем вычислить интеграл для потенциала и взять от него гра­диент.

Подобный интеграл связывает и магнитное поле с токами. Мы уже имеем интеграл для А [уравнение (14.19)]; мы можем получить интеграл и для В, если возьмем ротор от обеих частей:

А теперь мы должны быть осторожны. Оператор ротора озна­чает взятие производных от А(1), т. е. он действует только на координаты (x₁, y₁, z₁). Можно внести оператор ÑX под ин­теграл, если помнить, что он действует только на переменные со значком 1, которые появляются, конечно, только в

 

Мы получаем для x-компоненты В:

 

(14.41)

Величина в скобках есть просто x-компонента от

 

 

Такие же результаты получаются и для других компонент, и мы имеем

 

 

(14.42)

Интеграл дает В сразу через известные токи. Геометрия здесь точно такая же, какая изображена на фиг. 14.2.

Если токи текут только по тонким проводам, мы можем, как в предыдущем параграфе, немедленно взять интеграл по­перек провода, заменив jdV на Ids, где ds — элемент длины провода. Тогда, пользуясь обозначениями фиг. 14.10, имеем

 

 

(14.43)

(Знак минус появляется потому, что мы изменили порядок векторного произведения.) Это уравнение для В называется законом Био — Савара в честь открывших его ученых. Он дает формулу для прямого вычисления магнитного поля, создава­емого проводами с током.

Вероятно, вы удивились: «Какой же прок от векторного по­тенциала, если мы можем сразу найти В в виде векторного ин­теграла? В конце концов А тоже определяется тремя интегра­лами!» Из-за векторного произведения интегралы для В обычно сложнее устроены, как это видно из уравнения (14.41). Кроме того, поскольку интегралы для А похожи на электростатиче­ские, то нам не надо их вычислять заново. Наконец, мы уви­дим, что в более трудных теоретических вопросах, таких, как теория относительности, в современном изложении законов механики, вроде принципа наименьшего действия, о котором будет рассказано позже, в квантовой механике, векторный потенциал играет важную роль.