Закон Гаусса; дивергенция поля Е

Наш изящный результат — уравнение (4.32) — был дока­зан для отдельного точечного заряда. А теперь допустим, что имеются два заряда: заряд q_l—в одной точке и заряд (q₂ — в другой. Задача выглядит уже потруднее. Теперь электрическое поле, нормальную составляющую которого мы интегрируем, это уже поле, созданное обоими зарядами. Иначе говоря, если e₁—то электрическое поле, которое создал бы один только заряд q₁ ,a E₂ — электрическое поле, создаваемое одним зарядом q₂, то суммарное электрическое поле равно Е=Е₁ + Е₂. Поток через произвольную замкнутую поверхность S равен

 

 

(4.33)

Поток при наличии двух зарядов — это поток, вызванный од­ним зарядом, плюс поток, вызванный другим. Если оба находятся снаружи S, то поток сквозь S равен нулю. Если q_l нахо­дится внутри S, a q₂ — снаружи, то первый интеграл даст q₁/e₀, а второй — нуль. Если поверхность окружает оба заряда, то каждый внесет вклад в интеграл и поток окажется равным (q₁+q₂)/e₀. Общее правило очевидно: суммарный поток из замк­нутой поверхности равен суммарному заряду внутри нее, де­ленному на e₀.

Этот результат представляет собой важный общий закон электростатического поля, и называется он теоремой Гаусса,

Закон Гаусса:

(4.34)

или

 

 

(4.35)

где

 

(4.36)

Из нашего вывода видно, что закон Гаусса вытекает из того факта, что показатель степени в законе Кулона в точности равен двум. Поле с законом 1/r³, да и любое поле 1/rⁿ с n¹2, не привело бы к закону Гаусса. Значит, закон Гаусса как раз выражает (только в другой форме) закон сил Кулона, дей­ствующих между двумя зарядами. Действительно, отправляясь от закона Гаусса, можно вывести закон Кулона. Оба они со­вершенно равноценны до того момента, пока силы между заря­дами действуют радиально.

Теперь мы хотим записать закон Гаусса на языке произ­водных. Чтобы это сделать, применим его к поверхности бес­конечно малого куба. В гл. 3 мы показали, что поток Е из такого куба равен дивергенции Ñ•Е, помноженной на объем dV куба. Заряд внутри dV по определению r равен rdV, так что закон Гаусса дает

 

 

или

 

(4.38)

Дифференциальная форма закона Гаусса — это первое из наших фундаментальных уравнений поля в электростатике, уравнение (4.5). Мы теперь показали, что два уравнения электростатики (4.5) и (4.6) эквивалентны закону силы Кулона. Разберем один пример применения закона Гаусса (другие примеры будут рас­смотрены позже).