Уравнения электростатического потенциала
В этой главе мы расскажем о поведении электрического поля в тех или иных обстоятельствах. Вы познакомитесь с тем, как ведет себя электрическое поле, и с некоторыми математическими методами, используемыми для определения поля.
Отметим для начала, что математически вся задача состоит в решении двух уравнений — максвелловских уравнений электростатики:
(6.1)
(6.2)
Фактически оба эти уравнения можно объединить в одно. Из второго уравнения сразу же следует, что поле может считаться градиентом некоего скаляра (см. гл. 3, § 7):
(6.3)
Электрическое поле каждого частного вида можно, если нужно, полностью описать с помощью потенциала поля j. Дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять j, получится, если (6.3) подставить в (6.1):
(6.4)
Расходимость градиента j—это то же, что Ñ2, действующее на j:
(6.5)
так что уравнение (6.4) мы запишем в виде
(6.6)
Оператор Ñ2 называется лапласианом, а уравнение (6.6) — уравнением Пуассона. Весь предмет электростатики с математической точки зрения заключается просто в изучении решений одного-единственного уравнения (6.6). Как только из (6.6) вы найдете j, поле Е немедленно получается из (6.3).
Обратимся сперва к особому классу задач, в которых r задано как функция х, у, z. Такая задача почти тривиальна, потому что решать уравнение (6.6) в общем случае мы уже умеем. Мы ведь показали, что если r в каждой точке известно, то потенциал в точке (1) равен
(6.7)
где r(2) — плотность заряда, dV2 — элемент объема в точке (2), а r12 — расстояние между точками (1) и (2). Решение дифференциального уравнения (6.6) свелось к интегрированию по пространству. Решение (6.7) нужно отметить особо, потому что в физике часто встречаются ситуации, приводящие к уравнениям, которые выглядят так:
и (6.7) является прототипом решения любой такой задачи.
Проблема расчета электростатического поля, таким образом, решается совершенно честно, если только положения всех зарядов известны. Давайте посмотрим на нескольких примерах, как действует эта формула.