Электростатическое поле сетки

Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свой­ство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрического поля близ сетки, составленной из заряженных проволочек. Чтоб упростить задачу, возьмем плос­кую систему параллельных проволочек бесконечной длины, про­межутки между которыми одинаковы.

Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд распределен на плоскости равномер­но. По мере приближения к сетке начнутся отклонения от преж­ней однородности. Мы хотим оценить, насколько близко от сетки появятся заметные изменения в потенциале.

 

 

Фиг. 7.8. Эквипотен­циальные поверхности над однородной сеткой из заряженных прово­лочек.

На фиг. 7.8 показа­но примерное расположение эквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем ближе к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически.

Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую коле­бательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.

Если проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси y, то можно попробовать испытать члены вида

 

(7.41)

где а — расстояние между нитями, а n — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что ника­ких изменений по у не заметно.) Полное решение должно со­стоять из суммы таких членов при n=1, 2, 3... Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.

 

Испытывая этим уравнением функцию j из (7.41), мы получаем

 

(7.42)

т.е. F_n(z) должно удовлетворять условию

 

 

 

 

(7.43)

Итак, должно быть

 

(7.44)

 

(7.45)

Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье n-й гар­моники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является z₀=a/2pn. Амплитуда у первой гармоники (n=1) уменьшается в е^2p раз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка а. Другие гармоники убы­вают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько а сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля

j₀=-E₀z.

которая и дает однородное поле при больших z. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с F_n из (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом А_n . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифферен­цирования получилось поле, согласующееся с плотностью заря­дов К на проволочках сетки.

Развитым нами методом можно объяснить, почему электро­статическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключе­нием промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая на­много легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне при­годна для защиты чувствительного электрического оборудова­ния от возмущающих внешних полей.