Уравнения электростатики для диэлектриков

Давайте теперь свяжем полученные нами результаты с тем, что мы уже узнали в электростатике. Основное уравнение имеет вид

(10.17)

где r — плотность всех электрических зарядов. Поскольку уследить за поляризационными зарядами непросто, удобно разбить r на две части. Обозначим снова через r_пол заряды, появляющиеся за счет неоднородной поляризации, а остальную часть назовем r_своб. Обычно r_своб означает заряд, сообщаемый проводникам или распределенный известным образом в про­странстве. В этом случае уравнение (10.17) приобретает вид

 

 

 

 

или

 

 

(10.18)

Уравнение для ротора от Е, конечно, не меняется:

 

 

 

(10.19)

Подставляя Р из уравнения (10.8), получаем более простое уравнение:

 

 

(10.20)

Это и есть уравнения электростатики в присутствии диэлектри­ков. Они, конечно, не дают ничего нового, но имеют вид, более удобный для расчетов в тех случаях, когда r_своб известно, а поляризация Р пропорциональна Е.

Заметьте, что мы не вытащили «константу» диэлектрической проницаемости x за знак дивергенции. Это потому, что она может не быть всюду одинаковой. Если она повсюду одинакова, то ее можно выделить в качестве множителя и уравнения станут в точности обычными уравнениями электростатики, где только r_своб нужно поделить на x. В написанной нами форме уравне­ния годятся в общем случае, когда в разных местах поля рас­положены разные диэлектрики. В таких случаях решить урав­нения иногда бывает очень трудно.

Здесь следует отметить один момент, имеющий историческое значение. На заре рождения электричества атомный механизм поляризации не был еще известен и о существовании r_пол не знали. Заряд r_своб считался равным всей плотности зарядов. Чтобы придать уравнениям Максвелла простой вид, вводили новый вектор D как линейную комбинацию Е и Р:

(10.21)

В результате уравнения (10.18) и (10.19) записывались в очень простом виде:

 

(10.22)

Можно ли их решить? Только когда задано третье уравне­ние, связывающее D и Е. Если справедливо уравнение (10.8), то эта связь есть

 

 

(10.23)

Последнее уравнение обычно записывается так:

 

 

 

(10.24)

где e — еще одна постоянная, описывающая диэлектрические свойства материалов. Она также называется «проницаемостью». (Теперь вы понимаете, почему в наших уравнениях появилось e₀, это «проницаемость пустого пространства».) Очевидно.

 

(10.25)

Сейчас мы рассматриваем эти вещи уже с другой точки зрения, а именно что в вакууме всегда имеются самые простые уравнения, и если в каждом случае учесть все заряды, какова бы ни была причина их возникновения, то они всегда справед­ливы. Выделяя часть зарядов либо из соображений удобства, либо потому, что мы не хотим вникать в детали процесса, мы всегда можем при желании написать уравнения в любой удоб­ной для нас форме.

Сделаем еще одно замечание. Уравнение D = eЕ пред­ставляет собой попытку описать свойства вещества. Но веще­ство исключительно сложно по своей природе, и подобное уравнение на самом деле неправильно. Так, если Е становится очень большим, D перестает быть пропорциональным Е. В некоторых веществах пропорциональность нарушается уже при достаточно слабых полях. Кроме того, «константа» про­порциональности может зависеть от того, насколько быстро Е меняется со временем. Следовательно, уравнение такого типа есть нечто вроде приближенного уравнения типа закона Гука. Оно не может быть глубоким, фундаментальным уравнением. С другой стороны, наши основные уравнения для Е (10.17) и (10.19) выражают наиболее полное и глубокое понимание электростатики.