Поля и силы в присутствии диэлектриков

Мы докажем сейчас ряд довольно общих теорем электроста­тики для тех случаев, когда имеются диэлектрики. Мы уже видели, что емкость плоского конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличивается в определенное число раз. Сейчас можно показать, что это верно для емкости любой формы, если вся область вокруг двух проводников заполнена одно­родным линейным диэлектриком. В отсутствие диэлектрика уравнения, которые требуется решить,
такие:

Когда имеется диэлектрик, первое из этих уравнений изменяет­ся, и мы получаем

 

(10.26)

Далее, поскольку мы считаем и всюду одинаковой, последние два уравнения можно записать в виде

 

 

(10.27)

Следовательно, для хЕ получаются такие же уравнения, как для Е₀, и тогда они имеют решение хЕ = Е₀. Другими сло­вами, поле всюду в х раз меньше, чем в отсутствие диэлектрика. Поскольку разность потенциалов есть линейный интеграл от поля, она уменьшится во столько же раз. А так как заряд на электродах конденсатора в обоих случаях тот же самый, то уравнение (10.2) говорит, что емкость в присутствии всюду однородного диэлектрика увеличивается в х раз.

Зададимся теперь вопросом, как взаимодействуют два за­ряженных проводника в диэлектрике. Рассмотрим жидкий диэлектрик, повсюду однородный. Мы уже видели раньше, что один из способов найти силу — это продифференцировать энер­гию по соответствующему расстоянию. Если заряды на про­водниках равны и противоположны по знаку, то энергия U — Q^Z/2C, где С — их емкость. С помощью принципа вир­туальной работы любая компонента силы получается некоторым дифференцированием; например,

 

 

(10.28)

Поскольку диэлектрик увеличивает емкость в х раз, все силы уменьшатся в такое же число раз.

Однако все это не так просто. Сказанное справедливо, только если диэлектрик жидкий. Любое перемещение провод­ников, окруженных твердым диэлектриком, изменяет условия механических напряжений в диэлектрике и его электрические свойства, а также несколько меняет механическую энергию диэлектрика. Движение проводников в жидкости не меняет свойств жидкости. Жидкость перетекает в другое место, но ее электрические свойства остаются неизменными.

Во многих старых книгах по электричеству изложение на­чинается с «основного» закона, по которому сила, действующая между двумя зарядами, есть

 

 

 

(10.29)

а эта точка зрения абсолютно неприемлема. Во-первых, это не всегда верно; это справедливо только в мире, заполненном жидкостью; во-вторых, так получается лишь для постоянного значения х, что для большинства реальных материалов вы­полняется приближенно.

Гораздо легче начинать со всегда справедливого (для непод­вижных зарядов) закона Кулона для зарядов в вакууме.

Что же происходит с зарядами в твердом теле? На это трудно ответить, потому что даже не вполне ясно, о чем идет речь. Если вы вносите заряды внутрь твердого диэлек­трика, то возникают всякого рода давления и напряжения. Вы не можете считать работу виртуальной, не включив сюда также механическую энергию, необходимую для сжатия тела, а отличить однозначным образом электрические силы от механических, возникающих за счет самого материала, вообще говоря, очень трудно. К счастью, никому на самом деле не бывает нужно знать ответ на предложенный вопрос. Иногда нужно знать величину натяжений, которые могут возникнуть в твердом теле, а это можно вычислить. Но результаты здесь оказываются гораздо сложнее, чем простой ответ, полученный нами для жидкостей.

Неожиданно сложной оказывается следующая проблема в теории диэлектриков: почему заряженное тело подбирает ма­ленькие кусочки диэлектрика? Если вы в сухой день причесы­ваетесь, то ваша расческа потом легко будет подбирать маленькие кусочки бумаги. Если вы не вдумались в этот вопрос, то, вероятно, сочтете, что на расческе заряды одного знака, а на бумаге противоположного. Но бумага ведь была сначала элект­рически нейтральной. У нее нет суммарного заряда, а она все же притягивается. Правда, иногда бумажки подскакивают к расческе, а затем отлетают, сразу же отталкиваясь от нее. Причина, конечно, заключается в том, что, коснувшись рас­чески, бумага сняла с нее немного отрицательных зарядов, а одноименные заряды отталкиваются. Но это все еще не дает ответа на первоначальный вопрос. Прежде всего, почему бу­мажки вообще притягиваются к расческе?

Ответ заключается в поляризации диэлектрика, помещен­ного в электрическое поле. Возникают поляризационные заряды обоих знаков, притягиваемые и отталкиваемые расческой. Однако в результате получается притяжение, потому что поле поблизости от расчески сильнее, чем вдали от нее, ведь расческа не бесконечна. Ее заряд локализован. Нейтральный кусочек бумаги не притянется ни к одной из параллельных пластин конденсатора. Изменение поля составляет существенную часть механизма притяжения.

Как показано на фиг. 10.8, диэлектрик всегда стремится из области слабого поля в область, где поле сильнее. В дей­ствительности можно показать, что сила, действующая на малые объекты, пропорциональна градиенту квадрата элект­рического поля. Почему она зависит от квадрата поля? Потому что индуцированные поляризационные заряды пропорциональ­ны полям, а для данных зарядов силы пропорциональны полю. Однако, как мы уже указывали, результирующая сила возни­кает, только если квадрат поля меняется от точки к точке. Следовательно, сила пропорциональна градиенту квадрата поля. Константа пропорциональности включает помимо всего прочего еще диэлектрическую проницаемость данного тела и зависит также от размеров и формы тела.

 

 

 

Фиг. 10.8, На диэлектрик в неоднородном поле действует сила, направленная в сторону областей с большей напряжен­ностью поля.

 

Фиг. 10.9. Сила, действующая на диэлектрик в пло­ском конденсаторе, может быть вычислена с помощью закона сохранения энергии.

Есть еще одна близкая задача, в которой сила, действующая на диэлектрик, может быть найдена точно. Если мы возьмем плоский конденсатор, в котором плитка диэлектрика задвинута лишь частично (фиг. 10.9), то возникнет сила, вдвигающая диэлектрик внутрь. Провести детальное исследование силы очень трудно; оно связано с неоднородностями поля вблизи концов диэлектрика и пластин. Однако если мы не интересуемся деталями, а просто используем закон сохранения энергии, то силу легко вычислить. Мы можем определить силу с помощью ранее выведенной формулы. Уравнение (10.28) эквивалентно

 

 

(10.30)

Нам осталось только найти, как меняется емкость в зависи­мости от положения плитки диэлектрика.

Пусть полная длина пластин есть L, ширина их равна W, расстояние между пластинами и толщина диэлектрика равна d, а расстояние, на которое вдвинут диэлектрик, есть х. Емкость есть отношение полного свободного заряда на пластинах к разности потенциалов между пластинами. Выше мы видели, что при данном потенциале V поверхностная плотность сво­бодных зарядов равна
xe₀V/d. Следовательно, полный заряд пластин равен

 

 

откуда мы находим емкость

 

(10.31)

С помощью (10.30) получаем

 

 

(10.32)

Но пользы от этого выражения не очень много, разве только вам понадобится определить силу именно в таких условиях. Мы хотели лишь показать, что можно подчас избежать страш­ных осложнений при определении сил, действующих на ди­электрики, если пользоваться энергией, как это было в настоя­щем случае.

В нашем изложении теории диэлектриков мы имели дело только с электрическими явлениями, принимая как факт, что поляризация вещества пропорциональна электрическому полю. Почему возникает такая пропорциональность — вопрос, пред­ставляющий, пожалуй, еще больший интерес для физики. Стоит нам понять механизм возникновения диэлектрической проницаемости с атомной точки зрения, как мы сможем исполь­зовать измерения диэлектрической проницаемости в изменяю­щихся условиях для получения подробных сведений о строении атомов и молекул. Эти вопросы будут частично изложены в следующей главе.