Электрический ток; сохранение заряда

Подумаем теперь о том, почему магнитные силы дей­ствуют на провода, по которым течет электрический ток. Для этого определим, что понимается под плотностью тока. Элект­рический ток состоит из движущихся электронов или дру­гих зарядов, которые образуют результирующее течение, или поток. Мы можем представить поток зарядов вектором, опре­деляющим количество зарядов, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную по­току (точь-в-точь как мы это делали, определяя поток тепла). Назовем эту величину плотностью тока и обозначим ее век­тором j. Он направлен вдоль движения зарядов. Если взять маленькую площадку Dа в данном месте материала, то коли­чество зарядов, текущее через площадку в единицу времени, равно

j•nDa, (13.2)

где n — единичный вектор нормали к Dа.

Плотность тока связана со средней скоростью течения зарядов. Предположим, что имеется распределение зарядов, в среднем дрейфующих со скоростью v. Когда это распределе­ние проходит через элемент поверхности Dа, то заряд Dq, проходящий через Dа за время Dt, равен заряду, содержащемуся в параллелепипеде с основанием Dа и высотой vDt (фиг. 13.2).


 

Фиг. 13.2. Если распределение зарядов с плотностью r дви­жется со скоростью v, то коли­чество заряда, проходящее в единицу времени через площад­ку Dа, есть rv•nDа.

Объем параллелепипеда есть произведение проекции Dа, пер­пендикулярной к v, на vDt, а умножая его на плотность заря­дов r, получаем Dq. Таким образом,

Dq = rv•nDaDt.

Заряд, проходящий в единицу времени, тогда равен рv•nDа, откуда получаем

j = pv. (13.3)

Если распределение зарядов состоит из отдельных зарядов, скажем электронов с зарядом q, движущихся со средней ско­ростью v, то плотность тока равна

j = Nqv, (13.4)

где N — число зарядов в единице объема.

Полное количество заряда, проходящее в единицу времени через какую-то поверхность S, называется электрическим то­ком I. Он равен интегралу от нормальной составляющей потока по всем элементам поверхности (фиг. 13.3):

 

 


Фиг. 13.3. Ток I через поверх­ность S равен ∫j•nda

 

 


Фиг. 13.4. Интеграл от j•n no замкнутой по­верхности равен скоро­сти изменения полного заряда Q внутри.


Ток I из замкнутой поверхности S представляет собой ско­рость, с которой заряды покидают объем V, окруженный по­верхностью 5. Один из основных законов физики говорит, что электрический заряд неуничтожаем; он никогда не теряется и не создается. Электрические заряды могут перемещаться с места на место, но никогда не возникают из ничего. Мы го­ворим, что заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности возникает результирующий ток, то количество заряда внутри должно соответственно уменьшаться (фиг. 13.4). Поэтому мы можем записать закон сохранения заряда в таком виде:

 

(13.6)

Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плот­ности заряда


 

(13.7)

Применяя (13.6) к малому объему DV, можно учесть, что интеграл слева есть Ñ•jDV. Заряд внутри равен rDV, поэтому сохранение заряда можно еще записать и так:


 

(13.8)

(опять теорема Гаусса из математики!).