Производные полей — градиент

Когда поля меняются со временем, то их изменение можно описать, задав их производные по t. Мы хотим также описать и их изменение в пространстве, потому что мы интересуемся связью, скажем, между температурой в некоторой точке и в точке с ней рядом. Как же задать производную температуры по координате? Дифференцировать температуру по х? Или по у, или по z?

Осмысленные физические законы не зависят от ориентации системы координат. Поэтому их нужно писать так, чтобы по обе стороны знака равенства стояли скаляры или векторы. Что же такое производная скалярного поля, скажем, дТ/дх? Скаляр ли это, или вектор, или еще что? Это, как легко понять, ни то ни другое, потому что если взять другую ось х, то дТ/дх изменится. Но заметьте: у нас есть три возможных производ­ных: дТ/дх, дТ/ду и dT/dz. Три сорта производных, а ведь мы знаем, что нужно как раз три числа, чтобы образовать вектор.

Может быть, эти три производные и представляют собой ком­поненты вектора:

 

 

(2.11)

Ясно, конечно, что, вообще говоря, не из любых трех чисел можно составить вектор. О векторе можно говорить только тогда, когда при повороте системы координат компоненты пре­образуются по правильному закону. Так что следует просле­дить, как меняются эти производные при повороте системы координат. Мы покажем, что (2.11) — действительно вектор. Производные действительно преобразуются при вращении си­стемы координат так, как полагается.

В этом можно убедиться по-разному. Можно, например, задать себе вопрос, ответ на который не должен зависеть от системы координат, и попытаться выразить ответ в «инвариант­ной» форме. К примеру, если S=A•B и если А и В — векторы, то мы знаем (это доказано в вып. 1, гл. 11), что S — скаляр. Мы знаем, что S — скаляр, не проверяя, меняется ли он при изменении системы координат. Ему ничего иного не остается, раз он является скалярным произведением двух векторов. По­добным же образом, если мы знаем, что А — вектор, и у нас есть три числа B₁, B₂, В₃, и мы обнаруживаем, что

 

 

(2.12)

(где S в любой системе координат одно и то же), то три числа b₁, b₂, В₃ обязаны быть компонентами В_х, В_у, В_z некоторого вектора В.

Рассмотрим теперь температурное поле. Возьмем две точки P₁ и Р₂, разделенные маленьким расстоянием DR.Температура в Р₁ есть T₁, а в Р₂ она равна T₂ , и их разница DТ=Т₂-Т_{1 .}Температура в этих реальных физических точках, конечно, не зависит от того, какие оси мы выбрали для измерения коорди­нат. В частности, DT — тоже число, не зависящее от системы координат. Это скаляр.