Преобразование токов и зарядов

Вы, вероятно, были обеспокоены сделанным нами упроще­нием, когда мы взяли одну и ту же скорость v для частицы и электронов проводимости в проволоке. Можно было бы вер­нуться назад и снова проделать анализ с двумя разными ско­ростями, но легче просто заметить, что плотность заряда и тока являются компонентами четырехвектора (см. вып. 2, гл. 17).

Мы видели уже, что если r₀ есть плотность зарядов в их системе покоя, то в системе, где они имеют скорость v, плотность равна

 

В этой системе их плотность тока есть

 

 

 

 

(13.34)

Далее, мы знаем, что энергия U и импульс частицы р, движущейся со скоростью v, даются выражениями

 

где m₀ — ее масса покоя. Мы знаем также, что U и р обра­зуют релятивистский четырехвектор. Поскольку r и j зави­сят от скорости v в точности, как U и р, то можно заклю­чить, что r и j также компоненты релятивистского четырехвектора. Это свойство есть ключ к общему анализу поля проволоки, движущейся с любой скоростью, и мы могли бы его использовать, если бы захотели решить снова задачу со скоростью частицы v₀, не равной скорости электронов про­водимости.

Если нам нужно перевести r и j в систему координат, движущуюся со скоростью и в направлении х, то мы знаем, что они преобразуются в точности как t и (х, у, z); поэтому мы имеем (см. вып. 2, гл. 15)

 

(13.35)

С помощью этих уравнений можно связать заряды и токи в одной системе с зарядами и токами в другой. Взяв заряды и токи в какой-то системе, можно решить электромагнитную задачу в этой системе, пользуясь уравнениями Максвелла. Результат, который мы получим для движения частиц, будет одним и тем же, независимо от выбранной системы отсчета. Позже мы вернемся к релятивистским преобразованиям элек­тромагнитных полей.