Векторный потенциал

В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т, е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:

 

 

(14.1)

и

 

(14.2)

На этот раз нам нужно решить эти уравне­ния математически самым общим образом, а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда из­вестны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал j дается просто инте­гралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электри­ческое поле, то его получают дифференцирова­нием j. Мы покажем сейчас, что для нахожде­ния поля В существует аналогичная процедура, если известна плотность тока j всех движу­щихся зарядов.

В электростатике, как мы видели (из-за того, что rot от Е везде равен нулю), всегда можно представить Е в виде градиента от ска­лярного поля j. А вот rot от В не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако диверген­ция В везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить В в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить В через поле, которое мы обозначим А:

 

(14.3)

 

Или, расписывая компоненты:

 

 

(14.4)

Запись B=ÑXA гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно

 

 

Поле А называется векторным потенциалом.

Вспомним, что скалярный потенциал j оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой зада­чи потенциал j, то всегда можно найти столь же хороший дру­гой потенциал j', добавив постоянную:

Новый потенциал j' дает те же электрические поля, потому что градиент ÑС есть нуль; j' и j отвечают одной и той же картине.

Точно так же у нас может быть несколько векторных по­тенциалов А, приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку В получается из А дифференцированием, то прибавление к А константы не меняет физики дела. Но для А свобода больше. Мы можем добавить к А любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть А, которое в какой-то реальной задаче дает правиль­ное поле В. Спрашивается, при каких условиях другой век­торный потенциал А', будучи подставлен в (14.3), дает то же самое поле В. Значит, А и А' имеют одинаковый ротор

 

Поэтому

 

Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть гра­диентом некоторого скалярного поля, скажем y, так что А'-A=Ñy. Это означает, что если А есть векторный потен­циал, отвечающий данной задаче, то при любом y

 

 

(14.5)

также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю В.

Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» А, накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал ср равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить А, наложив на него такое условие, чтобы дивергенция А чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая В. Так получается потому, что, хотя А' и А имеют одинаковый ротор и дают одно и то же В, они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, Ñ•A' = Ñ•A+Ѳy, и, подбирая соответствующее y, можно придать Ñ•A' любое значение.

Чему следует приравнять Ñ•А? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатики мы сделаем простой выбор

Ñ•A = 0. (14.6)

(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение А в данный момент есть ÑXA=B и Ñ•А=0.

Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля В₀. Выбирая ось z в направлении В₀, мы должны иметь

 

 

(14.7)

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть

 

 

Или с тем же успехом можно взять

 

 

Еще одно решение есть комбинация первых двух

 

Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не един­ственный; существует много возможностей.

 

 

Фиг. 14.1. Однородное маг­нитное поле В, направленное по оси z, соответствует векторному потенциалу А (А=Вr'/2), который вращается вокруг оси z. т' — расстояние до оси z.

 

Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интерес­ных свойств. Поскольку x-компонента пропорциональна -y, а y-компонента пропорциональна -+x, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси z, кото­рый мы обозначим r' (штрих означает, что это не вектор рас­стояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна Ö(x²+y²) и, следовательно, пропорциональна r'. Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто

 

(14.9)

Векторный потенциал А равен по величине Br' /2, и вращается вокруг оси z, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный по­тенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.

Векторный потенциал однородного поля может быть полу­чен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от ÑXА с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]

 

(14.10)

Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому

 

 

(14.11)

Итак, циркуляция А вдоль всякой петли равна потоку В сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r' в плоско­сти, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен

Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной и функцией толь­ко от r', то циркуляция будет равна

 

Как и раньше, получаем

 

 

В только что разобранном примере мы вычисляем вектор­ный потенциал из магнитного поля, обычно поступают наоборот. В сложных задачах всегда проще найти векторный потенциал, а затем уже из него найти магнитное поле. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.