рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Физика
- /
- КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Реферат Курсовая Конспект
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ - раздел Физика, Глава 39 ...
Глава 39
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Свойства вещества
Давление газа
Сжимаемость излучения
Температура и кинетическая энергия
Закон идеального газа
Свойства вещества
Нечего и говорить, что это трудная задача. И будет лучше, если мы с самого начала подчеркнем, что это чрезвычайно трудная задача и что решать ее… Такой способ непригоден для изучения свойств вещества. Мы можем сказать о… Происходит это по нескольким причинам. Во-первых, наш анализ не может быть полным потому, что для этого нужно глубокое…Давление газа
Чтобы проанализировать это явление количественно, предположим, что газ находится в ящике, одна стенка которого представляет собой поршень,… Фиг. 39. 1. Атомы газа в ящике, в котором движется поршень без трения.Сжимаемость излучения
P=2npxvx. (39.15) После усреднения мы получим произведение n на среднее значение pxvx… PV=N<p•v>/3. (39.16)Температура и кинетическая энергия
Давайте посмотрим, что случится, если ящик разделен на две части движущимся поршнем и каждое отделение заполнено разным газом, как это показано на… Фиг.39. 2. Атомы двух разных одноатомных газов, разделенных подвижным поршнем.Закон идеального газа
PV=NkT. (39.22) Следовательно, при одинаковых температуре, давлении и объеме число атомов… На практике, когда имеешь дело с молекулами, приходится оперировать большими числами, поэтому химики произвольно…Стоградусная шкала— это шкала Кельвина, в которой за нуль принята температура 273,16°, так что T=273,16+стоградусная температура.
То, что химики называют молекулярным весом, есть не что иное, как масса моля молекул в граммах. Моль определяется так, что масса моля атомов изотопа углерода 12 (ядра которого состоят из 6 протонов и 6 нейтронов) равна в точности 12 г.
* Этот аргумент, который приводил еще Максвелл, несколько коварен. Хотя окончательный вывод и справедлив, но он не следует непосредственно из соображений симметрии, которыми мы пользовались раньше. Ведь перейдя к движущейся через газ системе отсчета, мы можем обнаружить искаженное распределение скоростей. Мы не смогли найти простого доказательства этого результата.
Глава 40
ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Экспоненциальная атмосфера
Закон Больцмана
Испарение жидкости
Распределение молекул по скоростям
Удельные теплоемкости газов
Поражение классической физики
Экспоненциальная атмосфера
Пока мы ограничимся случаем теплового равновесия, т. е. всего лишь подклассом всех явлений природы. Законы механики, применяемые в условиях… Одна теорема статистической механики вам уже известна. Согласно этой теореме,… Итак, вот два вопроса, на которые мы попытаемся дать ответ: 1) Как атомы располагаются в пространстве, когда на них…Закон Болъцмаиа
e-п.э./kT где п.э. — потенциальная энергия отдельного атома. Возможно, что это случайность и этот закон справедлив только в частном случае однородного гравитационного поля. Однако…Испарение жидкости
Фиг. 40. 3. Кривая потенциальной энергии для двух молекул. Потенциальная…Распределение молекул по скоростям
Фиг. 40.4. Высоты h достигают только те молекулы, скорость которых на высоте…Удельные теплоемкости газов
Но предположим, что мы столкнулись с более сложной молекулой, которая может вращаться и колебаться, и предположим (в классической механике это… Попробуем вычислить g для ряда частных случаев. Прежде всего для одноатомных… Но чему же равна полная энергия молекулы при температуре Т? Мы знаем, что кинетическая энергия каждого из атомов…Поражение классической физики
Первая замечательная работа по динамической теории газов была сделана Максвеллом в 1859 г. Исходя из идей, с которыми мы только что познакомились,… В прочитанной десять лет спустя лекции он сказал: «Я должен изложить Вам то,… Примерно в 1890 г. Джинс заговорил вновь об этой загадке. Часто приходится слышать, что физики конца девятнадцатого…Глава 41
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Равнораспределение энергии
Тепловое равновесие излучения
Равномерное распределение и квантовый осциллятор
Случайные блуждания
Равнораспределение энергии
Между прочим, когда говорят, что средняя кинетическая энергия частицы равна 3/2 kT, то требуют, чтобы этот результат был выведен из кинетической… Для этого представим, что, кроме воды и частицы, есть еще и газ, состоящий из…Тепловое равновесие излучения
Это, конечно, неверно, потому что осциллятор несет электрический заряд, а поскольку он обладает энергией kТ, то, качаясь вверх и вниз, он излучает… Но если заключить все атомы и осцилляторы в ящик, так чтобы свет не смог уйти… А теперь подсчитаем, насколько должен быть освещен ящик при температуре Т, чтобы рассеяние света на осцилляторе…Равномерное распределение и квантовый осциллятор
Таким образом, начало кривой распределения правильно описывает опыт, а ее высокочастотный конец сбивается с верного пути. Почему же так? Когда… За изучение этой кривой взялся Планк. Сначала он нашел чисто эмпирический… Сейчас мы выведем первую правильную формулу квантовой механики. Предположим, что дозволенные уровни энергии…Случайные блуждания
Читатель легко может проверить, что число столкновений, которые испытывает одна плавающая в воде молекула, порядка 1014 в секунду, так что на одну… Фиг. 41.6. Зигзагообразный путь из 36 случайных шагов длиной L.Глава 42
ПРИМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Испарение
Термоионная эмиссия
Тепловая ионизация
Химическая кинетика
Законы излучения Эйнштейна
Испарение
Явления, которые мы собираемся изучить, довольно сложны: испарение жидкости, вылет электронов с поверхности металла или химическая реакция, в… Однако полезно знать, хотя бы очень приблизительно, почему то, что… Разберем первый пример — испарение жидкости. Предположим, что большой ящик при заданной температуре заполнен…Термоиониая эмиссия
Как определить число электронов, покидающих металл за 1 сек? Очень трудно перечислить все, что может повлиять на выход электрона: легче решить…Тепловая ионизация
Прежде всего эти числа подчиняются двум условиям или связям. Например, можно как угодно менять различные условия, температуру и т. д., но сумма… Эти равенства верны, и мы в конце концов всегда используем их при решении…Химическая кинетика.
Эта формула, конечно, неточна, потому что «постоянная» с зависит от того, в… Попробуем понять эту формулу как результат столкновений, приблизительно так же, как мы постигали формулу испарения,…Законы излучения Эйнштейна
Этот вывод содержит предположение, что генерирующий излучение осциллятор… Эйнштейн предположил, что окончательная формула Планка правильна и использовал ее для получения новой, ранее…Глава 43
ДИФФУЗИЯ
Столкновения молекул
Средняя длина свободного пробега
Скорость дрейфа
Ионная проводимость
Молекулярная диффузия
Теплопроводность
Столкновения молекул
В качестве простого примера неравновесной задачи рассмотрим диффузию ионов в газе. Предположим, что в газе содержится немного ионов — электрически… Мы замечаем, таким образом, что ион «дрейфует» со средней скоростью,… Наших математических познаний еще недостаточно, чтобы точно вычислить все, что произойдет, но мы можем получить…Средняя длина свободного пробега
Длина свободного пробега l=tv. (43.9) В этой главе мы не будем уточнять, какого рода среднее мы имеем в виду в… Вероятность того, что молекула испытает столкновение, пройдя расстояние dx, равна dx/l, как вероятность столкновения…Скорость дрейфа
Начнем с изучения основного процесса: на S-молекулу в газе из молекул фона действуют какая-то особая сила F (это может быть сила тяжести или… Если в какой-то произвольный момент времени начать наблюдать за S-молекулой,… Чтобы упростить сейчас дело, предположим, что после каждого столкновения наша S-молекула выходит на совершенно…Нонная проводимость
Фиг. 43.2. Электрический ток в ионизованном газе.Молекулярная диффузия
Итак, мы приступаем к вычислению общего потока молекул особого газа, порождаемого молекулярным движением. Общий поток не равен нулю только тогда,… Мы упростим наши выкладки, если возьмем площадку единичной площади. Тогда…Подставляя этот результат в (43.22) и пренебрегая множителем 2, получаем
Мы выяснили, что поток особых молекул пропорционален производной плотности, или, как иногда говорят, «градиенту плотности». Ясно, что мы сделали несколько грубых приближений. Не говоря уже о том, что…Теплопроводность
Теплопроводность c определяется как отношение скорости переноса тепловой энергии через единичную площадку к градиенту температуры: Поскольку ход вычислений теплопроводности очень похож на вычисление потока заряженных частиц в ионизованном газе, то…Глава 44
ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Тепловые машины; первый закон
Второй закон
Обратимые машины
Коэффициент полезного действия идеальной машины
Термодинамическая температура
Энтропия
Тепловые машины; первый закон
Приведем пример: согласно кинетической теории, давление газа вызывается молекулярной бомбардировкой, и нам известно, что при нагревании газа… Рассмотрим еще один пример. Многим, наверное, известно интересное свойство…Второй закон
Последняя фаза очень важна. Предположим, что в запаянном контейнере находится сжатый воздух при постоянной температуре; мы позволили ему… Если бы это стало вдруг возможным, то это означало бы, что, помимо многих… Если мы просто приложим нагретое тело к холодному и больше ничего делать не будем, то, насколько известно, горячее…Обратимые машины
А теперь обсудим аналог движения без трения — «лишенный трения» перенос тепла. Если мы приложим горячее тело к телу, обладающему более низкой…Коэффициент полезного действия идеальной машины
После этого сделаем еще один важный шаг к универсальному закону. В качестве рабочего вещества машины можно взять одно вещество с хорошо известными… Нам нужно лишь получить формулы для Q1 и Q2 (ведь W=Q1-Q2) — тепла, которым… W=ab∫pdVТермодинамическая температура
Q=QST, (44.10) а QS=S•1°. (44.11)Энтропия
Интересно, что, кроме давления, которое зависит от температуры и объема, и внутренней энергии (функции все тех же объема и температуры), мы нашли… dS=dQ/T. (44.15) Подсчитаем полное количество выделенной энтропии. Разность энтропии, или энтропия, нужная для перехода из а в b в…Глава 45
ПРИМЕРЫ ИЗ ТЕРМОДИНАМИКИ
Внутренняя энергия
Применения
Уравнение Клаузиуса –Клайперона
Внутренняя энергия
Термодинамика сложна потому, что каждое явление она позволяет описывать многими способами. Если нам нужно описать поведение газа, то мы можем… Чтобы упростить понимание этой главы, договоримся с самого начала выбрать в… Итак, сначала рассмотрим только одну систему независимых переменных — температуру и объем. Затем нас будут…Применения
Получив от газа все, что нужно, рассмотрим другой случай— резину. Растянув резиновую полоску, мы обнаружили, что ее температура возросла, а… DU=DQ+FDL. (45.8) Сравнивая (45.3) и (45.8), мы убедимся, что уравнение для резины получилось сразу после замены одних букв другими.…Уравнение Клаузиуса— Клайперона
Естественно задать себе вопрос: как зависит давление от объема, если температура остается постоянной? Иначе говоря, мы хотим начертить…Поскольку (ex-1)-1 =е-x+е-2x +..., то интеграл равен
Но, поэтому, дифференцируя три раза по n, мы получаем
Так что интеграл равен 6 (1+1/16+1/81+...), и несколько первых членов ряда дают уже хорошее приближение. В гл. 50 мы сможем показать, что сумма обратных четвертых степеней целых чисел равна p5/90.
Глава 46
ХРАПОВИК И СОБАЧКА
Как действует храповик
Храповик как машина
Обратимость в механике
Необратимость
Порядок и энтропия
Как действует храповик
Вопросы, которые мы будем обсуждать, возникают при попытке найти с молекулярной или кинетической точки зрения простое объяснение тому, что… В доказательстве Карно то обстоятельство, что при переходе от одной… Попробуем придумать такое устройство, чтобы второй закон термодинамики нарушался, т. е. чтобы работу из теплового…Храповик как машина
Посмотрим-ка, удастся ли нам теперь поднимать грузы. Привяжем к барабану нить и привесим к ней грузик вроде нашей блошки. Пусть L будет момент,… Сперва рассмотрим движение вперед, для которого храповик и предназначен.… Рассмотрим теперь случай обратного вращения. Что происходит здесь? Чтобы храповик повернулся назад, надо лишь…Обратимость в механике
Законы механики действуют примерно так: сила есть масса на ускорение; сила, действующая на частицу, есть сложная функция положений всех прочих… Но решения способны и на большее. Решая уравнения движения, мы можем получить… Можно, правда, изобрести машину, для которой это утверждение явным образом неверно. Взять, например, колесо,…Необратимость
Откуда же она появляется? Ведь ее нет в законах Ньютона. Если мы считаем, что любое явление может быть в конечном счете объяснено законами физики, и… Рассмотрим теперь этот вопрос. Один закон такого рода мы уже знаем — он… Так как речь зашла об энтропии, то нам придется найти ее микроскопическое описание. Когда мы говорим, что в чем-то…Порядок и энтропия
Пользуясь этим техническим определением «беспорядка», можно понять наше утверждение. Во-первых, энтропия измеряет «беспорядок». Во-вторых,… А что можно сказать о необратимости других физических законов? Когда мы… Насколько нам известно, все основные законы физики, подобно уравнениям Ньютона, обратимы. Тогда откуда…Глава 47
ЗВУК. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Волны
Распространение звука
Волновое уравнение
Решения волнового уравнения
Скорость звука
Волны
В этой главе мы будем обсуждать новое явление — волны. О волнах часто и много говорится в физике, и мы наше внимание должны сконцентрировать на этом вопросе не только потому, что собираемся рассмотреть частный пример волн — звук,— но и потому, что волновые процессы имеют и другие многочисленные применения во всех областях физики.
Изучая гармонический осциллятор, мы уже отмечали, что существуют примеры как механических колеблющихся систем, так и электрических. Волны тесно связаны с колебательными системами, однако волновое движение есть не только колебание в данном месте, зависящее от времени, но и движение в пространстве.
Мы уже на самом деле изучали волны. Когда мы говорили о волновых свойствах света, мы обращали особое внимание на пространственную интерференцию волн одной и той же частоты от различных источников, расположенных в разных местах. Существуют еще два важных явления, о которых мы не упоминали и которые свойственны как свету, т. е. электромагнитным волнам, так и любой другой форме волнового движения. Первое из них — это явление интерференции, но уже не в пространстве, а во времени. Когда мы слушаем звуки сразу от двух источников, причем частоты их слегка отличаются, к нам приходят то гребни обеих волн, то гребень одной волны и впадина другой (фиг. 47.1).
Фиг. 47.1. Интерференция звука во времени от двух источников с несколько отличающимися частотами приводит к биениям.
Звук то усиливается, то ослабевает, возникают биения, или, другими словами, происходит интерференция во времени. Второе явление — это волновое движение в замкнутом объеме, когда волны отражаются то от одной, то от другой стенки.
Все эти эффекты можно было, конечно, рассмотреть и на примере электромагнитных волн. Мы этого не сделали по той причине, что на одном примере мы не почувствовали бы общего характера явления, свойственного самым разным процессам. Чтобы подчеркнуть общность понятия волн вне рамок электродинамики, мы рассмотрим здесь другой пример — звуковые волны.
Есть еще пример — морские волны, набегающие на берег, или мелкая водяная рябь. Кроме того, существуют два рода упругих волн в твердых телах: волны сжатия (или продольные волны), в которых частицы тела колеблются вперед и назад в направлении распространения волны (звуковые колебания в газе именно такого типа), и поперечные волны, когда частицы тела колеблются перпендикулярно направлению движения волны. При землетрясениях в результате движения участка земной коры возникают упругие волны обоих типов.
И, наконец, есть еще один тип волн, который нам дает современная физика. Это волны, определяющие амплитуду вероятности нахождения частицы в данном месте,— «волны материи», о которых мы уже говорили. Их частота пропорциональна энергии, а волновое число пропорционально импульсу. Эти волны встречаются в квантовой механике.
В этой главе мы будем рассматривать только такие волны, скорость которых не зависит от длины волны. Пример таких волн — распространение света в вакууме. Скорость света в этом случае одна и та же для радиоволн, для синего и зеленого света и вообще для света любой длины волны. Именно поэтому, когда мы описывали волновые явления, мы сначала и не заметили самого факта распространения волн. Вместо этого мы говорили, что если перенести заряд в некоторую точку, то электрическое поле на расстоянии х будет пропорционально ускорению заряда, но не в момент времени t, а в более ранний момент времени t- x/c. Поэтому распределение электрического поля в пространстве в некоторый момент времени, изображенное на фиг. 47.2, спустя время t передвинется на расстояние ct. Выражаясь математически, можно сказать, что в рассматриваемом нами одномерном случае электрическое поле есть функция от x-ct. Отсюда видно, что при t=0 оно оказывается функцией только х. Если взять более поздний момент времени и несколько увеличить х, мы получим ту же самую величину поля. Например, если максимум поля возникает при x=3 и в момент времени t=0, то положение максимума в момент времени t находится из равенства
x-ct=3, или x=3+ct.
Мы видим, что такая функция отвечает распространению волны. Итак, функция f(x-ct) описывает волну. Мы можем все сказанное записать кратко так:
f(x-ct)= f[x+Dx-с(t+Dt],
если Dx=cDt. Конечно, существует еще и другая возможность, когда источник излучает волны не направо, как указано на фиг. 47.2, а налево, так что волны будут двигаться в сторону отрицательных х.
Фиг. 47.2. Примерное распределение электрического поля в некоторый момент времени (а) и электрическое поле через промежуток времени t (b).
Тогда распространение волны описывалось бы функцией g(x+ct).
Может еще случиться, что в пространстве одновременно движется несколько волн, и тогда электрическое поле есть сумма всех полей и все они распространяются независимо. Это свойство электрических полей можно выразить так: пусть f1(x-ct) отвечает одной волне, a f2(x-ct) — другой, тогда их сумма также описывает некоторую волну. Это утверждение называется принципом суперпозиции. Он справедлив и для звуковых волн.
Мы хорошо знаем, что звуки воспринимаются в той последовательности, в какой они создаются источником. А если бы высокие частоты распространялись быстрее, чем низкие, то вместо звуков музыки мы слышали бы резкий и отрывистый шум. Точно так же если бы красный свет двигался быстрее, чем синий, то вспышка белого света выглядела бы сначала красной, затем белой и наконец синей. Мы хорошо знаем, что такого на самом деле не происходит. И звук, и свет движутся в воздухе со скоростью, почти не зависящей от частоты. Примеры волнового движения, где этот принцип не выполняется, будут рассмотрены в гл. 48.
Для света (электромагнитных волн) мы получили формулу, определяющую электрическое поле в данной точке, которое возникает при ускорении заряда. Казалось бы, нам остается теперь подобным образом определить какую-нибудь характеристику воздуха, скажем давление на заданном расстоянии от источника через движение источника, и учесть запаздывание при распространении звука.
В случае света такой подход был приемлем, так как все наши знания сводились к тому, что заряд в одном месте действует с некоторой силой на заряд в другом месте. Подробности распространения взаимодействия из одной точки в другую были абсолютно несущественны. Но звук, как известно, распространяется по воздуху от источника к уху, и естественно спросить, чему равно давление воздуха в каждый данный момент. Кроме того, хотелось бы знать, как именно движется воздух.
В случае электричества мы могли поверить в правило, поскольку законы электричества мы еще не проходили, но для звука это не так. Нам недостаточно сформулировать закон, определяющий распространение звукового давления в воздухе; этот процесс должен быть объяснен на основе законов механики. Короче, звук есть часть механики, и он должен быть объяснен с помощью законов Ньютона. Распространение звука из одной точки в другую есть просто следствие механики и свойств газов, если звук распространяется в газе, или свойств жидкостей и твердых тел, если звук проходит через эти среды. Позднее мы выведем также свойства света и его волновое движение из законов электродинамики.
Распространение звука
Рассмотрим простейший пример — распространение звука в одномерном пространстве. Для вывода нам сначала необходимо понять, что же в действительности… Опишем этот процесс на языке формул. Прежде всего решим, какие нам нужны… Как уже говорилось, мы рассмотрим волну в одном измерении. Так можно поступить, если мы находимся достаточно далеко…Волновое уравнение
I. Газ движется, и плотность его меняется. II. При изменении плотности меняется и давление. III. Неравномерное распределение давления вызывает… Рассмотрим сначала свойство П. Для любого газа, жидкости или твердого тела… I=20log10(P/Pотн) дб, (47.1)Решения волнового уравнения
Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде f(x-vt). Посмотрим… Дифференцируя эту же функцию c по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или дc/dt=-vf (x-vt); вторая…Скорость звука
Итак, для звука истинная скорость изменения давления с плотностью должна вычисляться без учета отвода тепла. Это соответствует адиабатическому… P=const•rg, (47.22) откуда мы получаем dP/dr=gP/r. Тогда для скорости звука возникает соотношениеГлава 48
БИЕНИЯ
Сложение двух волн
Некоторые замечания о биениях и модуляции
Боковые полосы
Локализованный волновой пакет
Амплитуда вероятности частиц
Волны в пространстве трех измерений
Собственные колебания
Сложение двух волн
Нетрудно догадаться, что при этом произойдет. Действуя так же, как прежде, давайте предположим, что имеются два одинаковых осциллирующих источника… Итак, теперь известен ответ: если взять два источника, частоты которых… Этот результат легко получить и математически. Предположим, например, что у нас есть две волны и забудем на минуту о…Некоторые замечания о биениях и модуляции
I = A21+A22 + 2A1A2cos(wl -w2)t. (48.8) Видите, интенсивность возрастает и падает с частотой w1-w2, изменяясь в… Те же результаты можно получить и другим путем—с помощью схем, подобных фиг. 48.2.Боковые полосы
S=(1+bcoswmt)coswct, (48.9) где (wс— несущая частота, а wm— частота слышимого звука. Используя теоремы о… S=coswct+1/2bcos(wc+wm) t+1/2bcos(wс-wm)t. (48.10)Локализованный волновой пакет
Давайте теперь складывать две такие волны. Пусть первая волна распространяется с одной частотой, а вторая волна — с какой-то другой. Случай неравных…Амплитуда вероятности частиц
где w — частота, связанная с классической энергией, E=hw, a k — волновое…Волны в пространстве трех измерений
Собственные колебания
Обратите внимание, что движение каждого из двух маятников — это колебания с циклически изменяющейся амплитудой. Поэтому движение одного из… Итак, создать колебания с постоянной амплитудой в нашей системе можно двумя… Действительное же движение системы, поскольку она линейна, можно представить в виде суперпозиции этих двух способов.…Следует сделать здесь небольшое примечание: в каких случаях кривая может быть представлена в виде суммы множества косинусов? Ответ: Почти всегда, за исключением небольшого числа случаев, которые могут присниться разве только математику. В каждой точке кривая, разумеется, должна иметь только одно значение и она не должна быть безумной кривой, прыгающей до бесконечности на протяжении бесконечно малого промежутка времени или что-нибудь в этом же духе. Однако если отвлечься от этих ограничений, то любая разумная кривая (в частности, и та, которая получается при колебании голосовых связок певицы) всегда может быть представлена в виде суммы косинусоидальных волн
Глава 49
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Отражение волн
Волны в ограниченном пространстве и собственные частоты
Двумерные собственные колебания
Связанные маятники
Линейные системы
Отражение волн
Первый пример волн в ограниченном пространстве — это волны в пространстве, ограниченном с одной стороны. Давайте возьмем простой случай одномерной… y=F(x-ct)+G(x+ct) (49.1) будет общим решением для любой струны. Но нам, помимо этого, нужно еще удовлетворить условию неподвижности одного…Волны в ограниченном пространстве и собственные частоты
Математически мы можем задать форму волны в виде функции sinkx, где k=w/c, как и в уравнениях (49.3) и (49.4). Эта функция обращается в нуль при… kL=np (49.5) в зависимости от того целого числа, которое мы подставим в него, дает полный набор различных чисел k. При этом каждому…Двумерные собственные колебания
Фиг. 49.4. Колебание прямоугольной пластинки.Связанные маятники
Попробуем найти математически эти две гармоники для случая, когда длины маятников одинаковы. Пусть отклонение одного маятника будет х, а другого —… Фиг. 49.5. Два связанных маятника.Линейные системы
Есть смысл подчеркнуть еще раз специально для случая синусоидального движения: линейная система не обязательно должна двигаться чисто синусоидально,… Эту главу мы закончим замечанием о связи гармоник с квантовой механикой.…Глава 50
ГАРМОНИКИ
Музыкальные звуки
Ряд Фурье
Качество и гармония
Коэффициент Фурье
Теорема об энергии
Нелинейная реакция
Музыкальные звуки
Пифагор смог сделать свое открытие лишь с помощью экспериментальных наблюдений. Однако все значение этого открытия, по-видимому, не было ему ясно.… Можно отметить еще одну, третью сторону этого интересного открытия: оно… Среди звуков, которые мы слышим, есть такой сорт, который называется шумом. Ему соответствуют какие-то нерегулярные…Ряд Фурье
До сих пор мы говорили о движении струны. Однако звук, который представляет собой движение воздуха, вызванное движением струны, тоже должен… Если для музыкального тона функция f(t) представляет давление воздуха в… Здесь появляется небольшое усложнение. Мы не вправе ожидать, что для каждой частоты начальные фазы обязательно будут…Качество и гармония
Можно «изготовить» различные музыкальные тоны, если подсоединить к громкоговорителю несколько «осцилляторов». (Осциллятор обычно дает приблизительно… Интересно, что для получения такого «искусственного» звука нет никакой… «Качество» разговорной речи определяется гласными звуками. Форма рта определяет частоты собственных гармоник…Коэффициенты Фурье
Фурье открыл, что на самом деле сделать это не очень трудно. Член а0 уж наверняка нетрудно найти. Мы говорили, что он равен среднему значению f(f)… Далее, поскольку среднее значение суммы равно сумме средних, то среднее…Теорема об энергии
Для сложной волны энергия за один период пропорциональна mНелинейная реакция
Например, xвх может быть силой, а хвых— перемещением, или хвх— ток, а xвых— напряжение. Если бы устройство было линейное, то мы бы получили xвых(t)=Kxвх(t), (50.24) где К — постоянная, не зависящая ни от t, ни от хек. Предположим, однако, что устройство только приблизительно…Ее можно вычислить следующим образом. Во-первых, заметим, что
Во-вторых, разложив подынтегральное выражение
В ряд, получим l/(1+x2)=l-x2+x4-x6+... . Интегрируя затем почленно этот ряд (от нуля до х), получаем arctgx:=l-х3/3+х5/5-x7/7+..., а положив x=1, мы докажем использованный результат, поскольку
Arctg1=p/4.
В основе деления октавы на 12 ступеней лежит открытие Пифагора. Он брал струну, зажимал ее посредине и получал звук на октаву выше, нем звук незажатой струны. Затем половину струны он опять зажимал посредине и получал звук еще на октаву выше и т. д. Точно так же, зажимая последовательно струну на 1/3 длины, он каждый раз получал звук выше на квинту. И вот оказалось, что 12 квинт почти точно укладываются на интервале в 7 октав [т. е. 27~=(3/2)12]. Если же теперь от каждой квинты отложить целое число октав вверх и вниз, то каждая первоначальная октава разделится на 12 частей. Так возник нифагорийский строй. Однако беда в том, что 12 квинт только приблизительно равны 7 октавам, поэтому в разных местах диапазона «лесенки» получались неровные. При развитии мелодии эти неточности накапливались и возникали противные уху интервалы, так называемые «волки», которые страшно досаждали музыкантам. Иногда дело доходило до курьезов. Рассказывают, что известный композитор Жак Рамо сумел так ловко извлекать из органа «волчьи» звуки, что однажды, желая отказаться от должности церковного органиста, привел своей «игрой» в ужас святых отцов и убедил их в своей «бесталанности». Много сил было потрачено на изгнание «волков». Этим, в частности, безуспешно занимались такие умы, как Кеплер и Эйлер. Однако сделать это удалось не физику и не математику, а органисту Андрею Веркмейстеру. Решение его гениально просто: он отказался от чистых квинт, укоротив их как раз настолько, чтобы дюжина вместилась в 7 октав, и несовместимое совместилось, а «волки» исчезли. Так возник современный темперированный строй.— Прим. ред.
Глава 51
Волны
Волна от движущегося предмета
Ударные волны
Волны в твердом теле
Поверхностные волны
Волна от движущегося предмета
Первым объектом нашего обсуждения будет эффект, производимый источником волн, движущимся со скоростью, превышающей скорость распространения волн,…Ударные волны
Это означает, что любое другое возмущение за скачком, вызванное, например, постоянным напором тела или чем-то другим, будет бежать быстрее, чем сам… Фиг. 51.3.«Мгновенные снимки» ударного фронта в последовательные моменты времени.Волны в твердом теле
Итак, в твердом теле могут быть волны обоих сортов. Во-первых, там распространяются волны сжатия, аналогичные звуку в воздухе, и, во-вторых, волны… Есть еще один интересный вопрос, касающийся звуковых волн. Что получится, если… Если мы рассматриваем длины волн, сравнимые с межатомным расстоянием, то скорость уже не будет постоянной; возникает…Поверхностные волны
Фиг. 51.9. Волны, на глубокой воде образуются частицами, движущимися по окружности.Глава 52
СИММЕТРИЯ ЗАКОНОВ ФИЗИКИ
Симметричные операции
Симметрия в пространстве и времени
Симметрия и законы сохранения
Зеркальное отражение
Полярный и аксиальный векторы
Какая же рука правая?
Четность не сохраняется!
Антивещество
Нарушенная симметрия
Симметричные операции
В этой главе мы будем говорить о том, что мы называем симметрией физических законов. Подобные симметрии уже обсуждались нами в ряде мест нашего курса, когда говорилось о векторном анализе (вып. 1, гл. 11), теории относительности (вып. 2, гл. 16) и вращениях (вып. 2, гл. 20).
Почему же симметрии так интересуют нас? Прежде всего потому, что симметрия импонирует нашему складу ума, каждому доставляет удовольствие любоваться предметом, который в каком-то смысле симметричен. Любопытно, что окружающий нас мир буквально заполнен симметричными объектами, созданными самой природой. Пожалуй, самый симметричный объект, который только можно себе представить,— это сфера, а природа дает нам массу примеров сферических тел: звезды, планеты, капельки воды в облаках и т. д. А сколько различных, порой причудливых примеров симметрии находим мы в кристаллах горных пород! Изучение их позволяет нам заглянуть внутрь вещества и получить важные сведения о структуре твердого тела. Столь же полон симметриями окружающий нас животный и растительный мир, хотя симметрия цветка или бабочки уже не столь совершенна и не столь фундаментальна, как симметрия кристалла.
Но тема этой главы все же не симметрия предметов, а куда более удивительная симметрия Вселенной — симметрия тех фундаментальных законов, которые управляют всеми процессами физического мира.
Однако что же такое симметрия? Каким образом физический закон может быть «симметричным»? Проблема определения симметрии — одна из основных. Мы уже говорили об очень хорошем определении, которое было дано Вейлем. Суть его состоит в том, что объект считается симметричным, если с ним можно сделать нечто такое, после чего он будет выглядеть точно так же, как и прежде. Например, симметрична ваза, которая, отразившись в зеркале или будучи повернута вокруг своей оси, выглядит точно так же, как и до поворота или отражения. Вопрос, который мы хотим разобрать здесь,— это, что можно сделать с физическим явлением или ситуацией, возникшей при эксперименте, чтобы получился тот же самый результат. Список операций симметрии, в результате которых различные физические явления остаются неизменными, приведен в табл. 52.1.
Таблица 52.1 • операции симметрии
§ 2. Симметрия в пространстве и времени
Самое простое, что можно попытаться сделать — это переносить (транслировать) различные явления в пространстве. Если мы в некотором месте сделаем какой-то опыт, а потом построим такую же установку (или просто перенесем старую) в другом месте и повторим наш опыт, то все должно повториться, причем в той же самой последовательности. При этом, конечно, все детали окружения и условия работы, существенные для нашего опыта, на новом месте должны быть теми же, что и прежде, т. е. должны быть тоже перенесены вместе с нашей аппаратурой. О том, что существенно и что не существенно, мы уже говорили и больше не будем останавливаться на этом.
Насколько нам сегодня известно, перемещение во времени тоже не должно изменять физических законов. (Впрочем, обо всем, содержащемся в этой главе, можно сказать: насколько нам известно сегодня!) Это означает, что если мы построим какую-то установку и запустим ее в некоторый момент времени, скажем в 10 часов утра во вторник, а затем построим вторую, точно такую же установку и запустим ее при тех же самых условиях, но ровно на три дня позднее, то эта вторая установка будет работать точно так же, как и первая, т. е. она будет повторять те же действия, в той же последовательности и с теми же интервалами длительности. При этом, конечно, снова подразумевается, что существенные свойства окружения изменяются со временем точно таким же образом, как и прежде.
Необходимо обращать внимание и на разницу, вносимую географией, ибо с изменением положения на Земле некоторые характеристики могут тоже меняться. Если мы в каком-то месте измеряем магнитное поле, а затем вместе со всей аппаратурой переедем куда-то в другое место, то приборы могут и не работать точно таким же образом, как раньше, поскольку магнитное поле в этих различных районах может быть разным. Однако всю ответственность за разницу в этом случае мы можем свалить на магнитное поле Земли. Но если вообразить, что мы передвигаем аппаратуру вместе со всем земным шаром, то, разумеется, никакой разницы быть не должно.
Другое свойство, которое мы тоже подробно обсуждали,— это вращение в пространстве. Если мы повернем нашу аппаратуру на некоторый угол, то она будет работать точно так же, как и прежде, но, разумеется, при непременном условии, что вместе с ней мы повернем все существенное для работы аппаратуры окружение. Проблеме симметрии при вращении в пространстве была посвящена глава 11. Там вы познакомились и с векторным анализом — математическим аппаратом, который наиболее полно и изящно учитывает вращательную симметрию.
Поднявшись в изучении природы на ступеньку выше, мы познакомились с более сложной симметрией — симметрией при равномерном и прямолинейном движении. Это поистине замечательная вещь. Если мы погрузим нашу работающую установку на автомашину (со всем, конечно, существенным окружением) и поедем с постоянной скоростью по прямой дороге, то явления, происходящие в движущейся машине, будут протекать точно так же, как если бы она стояла на месте, т. е. все законы физики остаются теми же самыми.
Нам даже известно, как математически выражается эта симметрия: все математические уравнения должны оставаться неизменными при преобразованиях Лоренца. Кстати, именно изучение проблем теории относительности заострило внимание физиков на симметриях физических законов.
Однако все упомянутые виды симметрии имеют геометрическую природу, причем в некотором смысле утверждается эквивалентность пространства и времени. Но существуют симметрии совершенно другого рода. Например, можно заменить один атом другим атомом того же сорта, или (в несколько другой постановке) существуют атомы одного и того же сорта, т. е. существуют такие группы атомов, что если мы переставим любые два из них, то ничто не изменится. То, что может сделать один атом кислорода определенного сорта, способен сделать и второй.
«Ерунда какая-то,— может возразить какой-нибудь скептик,— ведь это же просто определение того, что означают атомы одного и того же сорта!» Согласен, это может быть просто определением, но все дело в том, что до опыта нам не известно, существуют ли в природе атомы «одного и того же сорта», а экспериментальный факт состоит в том, что таких атомов много, очень много, так что наше утверждение все-таки что-то означает. В указанном смысле одинаковы и так называемые элементарные частицы, из которых сделаны атомы; одинаковы все протоны, одинаковы все положительные p-мезоны и т. д.
После столь длинного списка того, что можно делать, не изменяя при этом явлений, может создаться впечатление, что практически позволено делать все что угодно. Совсем нет. Вот вам пример — просто для того, чтобы продемонстрировать разницу. Допустим, что нас интересует вопрос: «А не остаются ли законы физики теми же самыми при изменении масштаба?» Пусть вы построили какую-то машину, а затем построили точную ее копию, но увеличенную, скажем, в пять раз. Будет ли копия работать точно так же? Нет, не будет! Длина волны света, испускаемого, например, атомами кальция, находящимися внутри ящика, и длина волны, излученная газом атомов кальция, которых в пять раз больше, будет не в пять раз больше, а в точности той же самой. Так что изменится отношение длины волны к размеру излучателя.
Возьмем другой пример. Время от времени в газетах вы видите фотографии моделей знаменитых соборов, сделанные из спичек, — удивительное произведение искусства, более удивительное и потрясающее, чем настоящий собор. А представьте себе, что такой деревянный собор в самом деле построен в натуральную величину. Вы уже чувствуете, что из этого получится! Он не будет стоять, он рухнет, ибо такие увеличенные модели из «спичек» недостаточно прочны. «Правильно,— может сказать кто-нибудь из вас, —но ведь существует внешнее влияние, которое тоже необходимо изменить в соответствующей пропорции!» Вы имеете в виду способность предметов противостоять силе тяжести? Хорошо. Сначала, когда мы взяли модель собора, сделанного из настоящих спичек, и настоящую Землю, то все было отлично и устойчиво. Но потом, когда мы увеличили собор, то должны увеличить и Землю, а это для собора будет еще хуже: ведь сила тяжести станет еще больше!
Сейчас вы, конечно, понимаете, что в основе зависимости явлений от размеров лежит атомная природа строения вещества. Если бы нам удалось построить аппаратуру, которая была бы так мала, что содержала бы всего пять атомов, то такую штуку нельзя было бы произвольно уменьшить или увеличить. Ведь размер отдельного атома не произвольный, он совершенно определенный.
Тот факт, что законы физики не остаются теми же при изменении масштаба, открыл еще Галилей. Он понял, что прочность материалов изменяется не в прямой пропорции с их размерами, и иллюстрировал это свойство на примере, очень похожем на наш собор из спичек. Он рисовал два скелета собаки, один из них обычный, в той пропорции, которая необходима для поддержания ее веса, а второй — необходимый для некой воображаемой «суперсобаки», которая в десять или, может быть, в тысячу раз больше обычной. Получилось нечто громадное и внушительное с совершенно другими пропорциями. Не известно, привели ли Галилея эти соображения к заключению о том, что законы природы должны иметь определенный масштаб; ясно лишь одно, что он был настолько потрясен своим открытием, что счел его столь же важным, как и открытие законов движения. Именно поэтому Галилей опубликовал оба эти закона в одном и том же томе под заглавием «О двух Новых Науках».
Другой хорошо известный пример несимметрии законов — это вращение. В системе, вращающейся с постоянной угловой скоростью, законы физики будут выглядеть совсем иначе, чем в покоящейся. Если мы произведем какой-то опыт, а затем погрузим всю аппаратуру в космический корабль и заставим его вращаться в межпланетном пространстве с постоянной угловой скоростью, то аппаратура из-за наличия центробежных и кориолисовых сил уже не будет работать так, как раньше. В сущности, ведь о вращении Земли мы узнаем, наблюдая лишь за поведением маятника (так называемого «маятника Фуко»). Нам вовсе не нужно для этого «выглядывать наружу», т. е. смотреть на звезды, например.
Следующей в нашем списке стоит очень интересная симметрия. Это обращение времени. На первый взгляд кажется, что оно неверно, что физические законы не могут быть обращены. Ведь всем ясно, что в нашем обычном масштабе явления необратимы.
«Скользит по бумаге перо,
За строчкой написанной — новая строчка...»
Насколько нам сейчас известно, причиной этой необратимости является огромное число частиц, принимающих участие в обычных процессах. Но если бы мы видели отдельные молекулы, то не могли бы сказать, работает ли вся машина вперед или назад. Поясним, что мы имеем в виду: построим такой прибор, в котором нам известно, что делает каждый из атомов (мы можем наблюдать за всеми их проделками). Построим теперь второй, точно такой же прибор, но запустим его в обратную сторону, т. е. установим его в конечном положении, а все скорости изменим на противоположные. После этого мы увидим в точности то же самое движение, но только все будет происходить в обратной последовательности. Возьмем другой пример. Предположим, что мы засняли на киноленту какой-то процесс, происходящий с веществом, и запустили пленку задом наперед. Тогда ни один из физиков не мог бы сказать: «Это противоречит физическим законам, происходит что-то не то». Если деталей не видно, то все становится совершенно ясно. Например, когда на тротуар падает яйцо и разбивается вдребезги, то вы сразу скажете: «Этот процесс необратим; если мы заснимем его на кинопленку и прокрутим ее наоборот, то яйцо само соберется в скорлупу, которая тут же склеится обратно, а это бессмыслица!» Но если мы видим отдельные атомы, то все кажется нам полностью обратимым. Открыть эту симметрию было, конечно, гораздо труднее, чем другие, но все-таки то, что фундаментальные законы физики, управляющие атомами и молекулами, обратимы во времени, по-видимому, верно.
Симметрия и законы сохранения
Оказывается, например, что симметрия законов физики по отношению к переносу в пространстве вместе с принципами квантовой механики означает… То, что законы симметричны при перемещении во времени, означает в квантовой… Неизменность (инвариантность) при повороте на фиксированный угол в пространстве соответствует сохранению момента…Зеркальное отражение
Мы подозреваем, что по крайней мере в этом случае отражение будет одной из симметрии физических законов, т. е. если заменить «право» на «лево», а… Разумеется, мир наш не должен быть симметричным. Если, например, взять то, что… Еще одно обстоятельство: наше определение «правой» стороны не должно зависеть от истории. Иначе было бы очень просто…Полярный и аксиальный векторы
Представьте себе, что какой-то озорной чертик, решив подшутить над физиками, пробрался во все лаборатории и всюду заменил слово «правое» на… Покажем это на примере. Вы знаете, что существуют два сорта векторов. Имеются… Фиг. 52.2. Отрезок в пространстве и его зеркальное отражение.Какая же рука правая?
Вот если бы магнит обладал тем свойством, что, посмотрев на него внимательно, мы бы обнаружили на его северном полюсе растущую бороду, которой нет… Чтобы яснее представить себе всю проблему в целом, вообразите, что вы… Предположим, нам захотелось рассказать ему о себе. Ну, лучше всего начать с чисел: «Тик, тик — два, тик, тик, тик —…Четность не сохраняется!
Фиг. 52.5. Схематические диаграммы распадов t- и q-мезонов.Антивещество
Далее, если у нас есть антипротоны, антинейтроны и позитроны, то из них в принципе можно составить антиатомы. Это еще не сделано, но в принципе… Тогда немедленно возникает вопрос. Можно сделать двое часов из вещества,… Теперь возникает очевидный вопрос: есть ли пара часов, которые идут одинаково? Иначе говоря, ведет ли себя…Нарушенная симметрия
Нас всегда тянет рассматривать симметрию как некоего рода совершенство. Это напоминает старую идею греков о совершенстве кругов. Им было даже… Итак, наша цель понять, откуда взялась симметрия. Почему природа столь близка… Мы можем, вообще говоря, подхватить эту мысль и сказать, что истинное объяснение приблизительной симметрии мира…Их построил архитектор и резчик Цингору в середине XVII века. —Прим. ред.
Автор не зря предупреждал, что обо всем содержании этой главы можно сказать: «насколько нам известно сегодня». Ведь это уже «передний край» физики, где возможны любые изменения. Так и вышло. Совсем недавно было установлено, что симметрия между правым веществом и левым антивеществом не всегда существует. Комбинированная симметрия тоже оказалась приближенной. Мы пока не знаем, как и почему это происходит, пока строим только гипотезы, но вполне возможно, что, когда дело дойдет до встречи с нашим приятелем из другого мира, мы предварительно сможем выяснить, сделан ли он из вещества, как и мы, или из антивещества. — Прим. ред.
* Сейчас уже научились делать еще два антиизотопа водорода: антидейтрон и антитритий. — Прим. ред.
– Конец работы –
Используемые теги: Кинетическая, Теория, газов0.065
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.183 сек.
Новости и инфо для студентов