Теоретические сведения

Упругостью называют свойство материала деформироваться под действием нагрузки и восстанавливать свою первоначаль­ную форму после разгрузки.

Согласно закону Гука напряжение и вызванная им дефор­мация связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью. При одноосном напряженном состоянии закон Гука выражается формулой:

 

 

Закон Гука соблюдается только на начальной стадии нагружения, пока напряжение не превышает предела пропорцио­нальности материала.

В настоящей лабораторной работе определение модуля упругости первого рода E основано на анализе связи его с частотой поперечных резонансных колебаний консольно закреп­ленной пластинки постоянного сечения F=bh, длиной l (рис.1).

Рис. 1. Силовая расчетная схема

 

 

Участок пластинки длиной dz имеет массу

 

где ρ - плотность материала.

Инерционная сила, приходящаяся на единицу длины плас­тинки при поперечном перемещении y, запишется как

F - площадь сечения пластинки.

Знак "минус" означает, что нагрузка q направлена в сто­рону, противоположную прогибу. Из теории изгиба извест­но, что

Дифференциальное уравнение поперечных колебаний пластин­ки после замены q имеет вид

(1)

Здесь I - момент инерции; t - время.

Решение уравнения (I) можно представить в виде

y=Zsin,

ω - угловая частота.

Где:

(2)

(3)

После подстановки его в (1) получим

Решение уравнения (2) запишем в общем виде:

 

Z=A sin(z) + B cos(z) + C sh(z) + D ch(z), (4)

 

где А, В, С, D - постоянные, которые определяются из гранич­ных условий.

Для консольно закрепленной балки функция 2 имеет следующие граничные условия:

при z=0 Z=0 и dZ/dz = 0, на конце балки (при z = l) изгибающий момент и поперечная сила равны нулю. Следовательно,

при z = l, и .

Составим определитель этой системы и приравняем его нулю:

 

Подставляя граничные условия в (4), имеем четыре уравнения:

 

откуда следует . Последовательный ряд кор­ней этого уравнения имеет вид:

= I.875;

= 4,694;

= 7.855 и т.д.

Первые три формы изгиба пластинки, соответствующие трем корням уравнения, изображены на рис.2. Эти формы можно наблюдать в моменты резонанса, увеличивая частоту колебаний вибростола с консольно закрепленной пластинкой.

 

 

Выражение (3), разрешенное относительно модуля упругости, запишется в виде

С учетом получаем:

где f - частота резонансных колебаний, Гц.

Таким образом, по полученной форме колебаний можно вы­числить модуль упругости первого рода E, фиксируя резонанс­ную частоту и подставляя соответствующее значение .

Для первой формы = 1,875,

; (5)

Для второй формы = 4,694,

(6)

Для первой формы = 7,855.

. (7)