Теоретические сведения

Расчетная схема представлена на рис.1,а. Степень ста­тической неопределимости балки равна единице. Для расчета наряду с уравнениями статики необходимо составить уравне­ние перемещений.

Отбросив правую опору и заменив ее силой Х₁ , получим эквивалентную статически определимую систему (рис,1,б). Величину силы Х₁ находят из канонического уравнения

(1)

которое выражает условие равенства нулю суммарного перемещения сечения над правой опорой. Для вычисления составляющих перемещений δ_1P и δ₁₁ используют правило Верещагина. На рис.1,в,г приведены эпюры изгибающих моментов отдельно от заданной силы Р (состояние "Р") и от единичной, соответствующей неизвестной силе Х₁ (состояние "1" ).

Рис.1. Раскрытие статической неопределимости и построение упругой линии балки: а - схема нагружения статически неопределимой балки; б - эквивалентная схема; в - эпюра моментов oт заданных сил; г - эпюра моментов от единичной силы; д - итоговая эпюра моментов; е - упругая линия балки; ж - и - эпюры моментов от единичной силы в точках искомых перемещений.

Умножая эпюру "Р" на эпюру "1" , получим

(2)

Аналогично умножим эпюру "1" на себя

(3)

Подстановка найденных перемещений в уравнение (I) и его решение дают

(4)

Суммарную эпюру изгибающих моментов для заданной балки
получают слежением эпюры "Р" и эпюры "1" , умноженной на Х₁
(см. рис.1.д).

По эпюре видно, что максимальный момент возникает в за­делке и составляет

(5)

На рис.1,е показана упругая линия балки, построенная на основании эпюры изгибавших моментов и граничных условий (на левом конце запрещены перемещение и поворот сечения; на правом - только перемещение).

При определении прогиба в сечениях А, В и С также при­меняют правило Верещагина. Чтобы не раскрывать статическую неопределимость еще раз, прогиб определяют не в заданной, а в эквивалентной системе (рис.1,б), т.е. единичную нагрузку прикладывают к системе с отброшенной лишней связью.

Эпюры моментов от единичных нагрузок, приложенных в ука­занных точках А, В, С, приведены на рис.1,ж - и. Умножив каждую из них на суммарную эпюру моментов рис1.д, получают искомые прогибы. Так как в данном случае обе перемножаемые эпюры прямолинейны, то можно брать площадь любой из них; при этом следует учитывать, что та эпюра, на которой берется ордината, не должна иметь изломов в пределах рассматриваемого участка. Эпюру М (рис.1,д) удобно представить в расслоенном виде. При определении прогибов в точках А и В удобное брать площадь единичных эпюр, а при определении прогиба в точке С – применять смешанный способ.

(6)

(7)

(8)

По полученным значениям уточняют форму упругой линии балки.