Мелкомасштабные неустойчивости.

Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесного состояния, полученного в предыдущем параграфе, по отношению к мелкомасштабным возмущениям с длиной возмущения . В приближении холодного электронного пучка, когда поперечная скорость электрона мала по отношению к его полной скорости, произведем интегрирование и линеаризацию уравнений движения:

(6.26)

в окрестности произвольной точки внутри сечения пучка. Для чего подставим в них линеаризованные выражения для полей в виде:

, (6.27)

где , а все переменные с индексом ноль относятся к их значениям в точке . В результате получим для компонент и в окрестности точки следующие выражения:

, (6.28)

где мы воспользовались разложением -фактора вблизи точки в следующем виде:

. (6.29)

Подставляя все полученные соотношения в -компоненту уравнения (6.26) и отбрасывая слагаемые, содержащие степени выше первой, получим:

, (6.30)

в которое необходимо подставить условие равновесия пучка (6.20) и соотношение между полями (6.21). В итоге получим условие устойчивости равновесия при возбуждении коротковолновых возмущений в пучке:

. (6.31)

Это условие накладывает следующее ограничение на магнитное поле на оси пучка:

, (6.32)

при выполнении которого электроны во всем сечении пучка будут двигаться в условиях устойчивого равновесия. Зависимость погонного тока пучка, находящегося в равновесии на границе устойчивости по критерию (6.31), от величины магнитного поля на оси системы показана на рис. 6.5 пунктирной кривой. Необходимо также отметить, что решение задачи о нахождении критерия устойчивости равновесия для случая аксиально-симметричного пучка, проделанное в работе [6], имело результатом соотношение, аналогичное (6.32), только отличающееся в правой части множителем 2.