ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Для того чтобы судить о работе изгибаемых балок; недостаточно знать только напряжения, которые возникают в сечениях балки от заданной нагрузки.
Вычисленные напряжения позволяют проверить прочность системы. Однако весьма прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости. Если балка под нагрузкой сильно прогибается, то при эксплуатации сооружения, имеющего гибкие балки, появятся затруднения и, кроме того, могут возникнуть колебания балки с большими амплитудами, а вместе с тем и значительные дополнительные напряжения. Для проверки жесткости балки необходимо научиться определять перемещения отдельных точек ее оси.
Рис. 222 Рис. 223
В настоящей главе рассмотрим только такие балки, у которых поперечное сечение имеет ось симметрии, а все силы, действующие на балку, лежат в плоскости, совпадающей с этой осью.
На рис. 222, а показана изогнутая балка, заделанная одним концом. В результате изгиба ось балки становится криволинейной. Точка К, лежащая на оси в сечении, отстоящем на расстоянии z от начала координат, переместится в точку К'. Обозначим перемещение произвольной точки оси бруса в направлении оси у через v, а перемещение вдоль оси бруса – через u. Если веточке К' провести касательную к оси изогнутой балки, то по отношению к первоначальной оси она будет повернута на некоторый угол φ. Три величины – v, u и φ –являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки. Определение этих компонентов во всех точках оси балки и составляет задачу настоящей главы.
Проверка жесткости балок сводится к требованию, по которому наибольший прогиб vmax не должен превышать определенной доли пролета:
vmax = l /т.
Число т устанавливается нормами проектирования примерно в пределах от 300 до 1000. Для ответственных сооружений, например для железнодорожных мостов, величина т принимается около 1000.
Отсюда видно, что прогибы при изгибе, как правило, малы по сравнению с пролетом балки.
Это позволяет ввести некоторые упрощения. Во-первых, при малых прогибах v угол наклона касательной к оси изогнутой балки можно определять с помощью выражения
(9.1)
Во-вторых, горизонтальными перемещениями и можно пренебречь, так как по сравнению с v они будут величинами второго порядка малости.
В самом деле, рассмотрим, например, балку длиной l, заделанную одним концом (рис. 223). Предположим, что она изогнулась по окружности. Вертикальное и горизонтальное перемещения свободного конца равны:
v = R (I –cos α);
u = l – Rsin α,
где R = l /α – радиус кривизны;
α – угол поворота концевого сечения.
Разложим cos α и sin α в ряд и ограничимся ввиду малости α двумя членами ряда:
После подстановки получим:
Отсюда следует, что v и α – величины одного порядка, а и имеет более высокий порядок малости.
Пусть, например, v =l/100, тогда α =1/50, а и=l/15000, т. е. горизонтальное перемещение в 150 раз меньше, чем вертикальное. Поскольку допускаемый прогиб обычно меньше, чем l /100, разница между u и v в реальных конструкциях еще больше, поэтому величиной u можно пренебречь.
На рис. 222, б показана условная схема перемещений. Считается, что каждая точка перемещается только по вертикали.
Для определения полной картины деформаций необходимо получить уравнение оси изогнутого бруса
v = v(z). (9.2)
Если функция v(z) известна, то, определив прогибы в ряде точек, можно построить кривую прогибов и найти наибольший прогиб, который позволит судить о жесткости балки. Вместе с тем во многих задачах бывает необходимо определять углы поворота. Эта задача встречается главным образом при расчете статически неопределимых систем, которые имеют большое распространение в строительной практике.