При выводе формулы нормальных напряжений при изгибе (см. § 62) была получена связь между кривизной и изгибающим моментом:
(9.3)
Формула (9.3) показывает, что кривизна изменяется по длине балки по тому же закону, по которому изменяется величина . Так, для балки постоянного сечения, показанной на рис. 224, а, эпюра кривизны (рис. 224, в) имеет такой же вид, как и эпюра моментов (рис. 224, б). Если балка постоянного сечения испытывает чистый изгиб (рис. 225), при котором момент по длине не меняется, то ее кривизна постоянна:
Подставляя значение кривизны в равенство (9.3), получим дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса
(9.4)
Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения связано с большими трудностями. Учитывая, что на практике приходится иметь дело с малыми прогибами и что тангенсы углов наклона касательной к оси будут малы, квадратом первой производной в знаменателе по сравнению с единицей можно пренебречь*.
Рис.224 Рис. 225
* Для рассмотренного в § 74 примера изгиба консольной балки по окружности зависимость между прогибом и углом поворота сечения конца консоли устанавливается выражением (а), откуда следует
Даже при сравнительно невысоких требованиях, предъявляемых к жесткости балок междуэтажных перекрытий, должно быть
Квадрат тангенса угла попорота сечения имеет порядок
Следовательно, данной величиной по сравнению с единицей можно пренебречь
Тогда получим приближенное дифференциальное уравнение
(9.5)
Два знака в уравнении (9.5) поставлены потому, что знак кривизны может не совпадать со знаком изгибающего момента. Знак кривизны зависит от направления осей координат. Знак изгибающего момента был выбран в зависимости от того, где расположены растянутые волокна. Так, например, для случая, когда ось Оу направлена, вверх, положительному моменту (рис. 226, а) соответствует положительная кривизна, а отрицательному – отрицательная кривизна.
Рис.226
Таким образом, в случае, когда ось Оу направлена вверх, знаки кривизны и изгибающего момента совпадают, поэтому в дифференциальном уравнении берется знак плюс:
Если ось Оу направлена вниз, то знаки у кривизны и изгибающего момента различны (рис. 226, б), поэтому в правой части уравнения (9.5) берется знак минус: