ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСИ ИЗОГНУТОГО БРУСА

При выводе формулы нормальных напряжений при изгибе (см. § 62) была получена связь между кривизной и изгибающим моментом:

(9.3)

Формула (9.3) показывает, что кривизна изменяется по длине балки по тому же закону, по которому изменяется величина . Так, для балки постоянного сечения, показанной на рис. 224, а, эпюра кривизны (рис. 224, в) имеет такой же вид, как и эпюра моментов (рис. 224, б). Если балка постоянного сечения испытывает чистый изгиб (рис. 225), при котором момент по длине не меняется, то ее кривизна постоянна:

Подставляя значение кривизны в равенство (9.3), получим дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса

(9.4)

Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения связано с большими трудностями. Учитывая, что на практике приходится иметь дело с малыми прогибами и что тангенсы углов наклона касательной к оси будут малы, квадратом первой производной в знаменателе по сравнению с единицей можно пренебречь*.

 

 

Рис.224 Рис. 225

* Для рассмотренного в § 74 примера изгиба консольной балки по окружности зависимость между прогибом и углом поворота сечения конца консоли устанавливается выражением (а), откуда следует

Даже при сравнительно невысоких требованиях, предъявляемых к жесткости балок междуэтажных перекрытий, должно быть

Квадрат тангенса угла попорота сечения имеет порядок

Следовательно, данной величиной по сравнению с единицей можно пренебречь

Тогда получим приближенное дифференциальное уравнение

(9.5)

Два знака в уравнении (9.5) поставлены потому, что знак кривизны может не совпадать со знаком изгибающего момента. Знак кривизны зависит от направления осей координат. Знак изгибающего момента был выбран в зависимости от того, где расположены растянутые волокна. Так, например, для случая, когда ось Оу направлена, вверх, положительному моменту (рис. 226, а) соответствует положительная кривизна, а отрицательному – отрицательная кривизна.

Рис.226

Таким образом, в случае, когда ось Оу направлена вверх, знаки кривизны и изгибающего момента совпадают, поэтому в дифференциальном уравнении берется знак плюс:

Если ось Оу направлена вниз, то знаки у кривизны и изгибающего момента различны (рис. 226, б), поэтому в правой части уравнения (9.5) берется знак минус: