ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Выведенные в предыдущих главах формулы для определения напряжений при растяжении, кручении и изгибе справедливы только в том случае, когда сечение отстоит на достаточном расстоянии от мест резкого изменения формы тела (выточек, отверстий ит. п.).

Напряжения, возникающие в точках вблизи мест приложения сосредоточенных сил, около выточек, у краев отверстий, в местах резкого изменения формы тела, у надрезов итрещин, не могут быть найдены с помощью элементарной теории.

В таких местах наблюдается явление резкого увеличения напряжений, которое называется концентрацией напряжений.

Рис. 423

Рис. 424

 

Так, например,при сжатии стержня (рис. 423), имеющего резкое изменение размеров поперечного сечения, напряжения в сечении 1-1 и 2-2 можно определять по обычным формулам:

Где F1 и F2 – площади сечения верхнего и нижнего участков стержня.

По сечению 3-3 напряжения распределяются неравномерно, возрастая к краям стержня и убывая к середине.

Максимальное напряжение в этом сечении можно выразить так:

Величину α_σ называют теоретическим коэффициентом концентрации напряжений. Он зависит от соотношения размеров верхнего и нижнего участков стержня. В общем случае теоретическим коэффициентом концентрации напряжений называется отношение максимального напряжения, вычисленного с учетом концентрации (в предположении совершенной упругости), к номинальному напряжению в той же точке:

За номинальное напряжение σ_ном принимают такое напряжение, которое определяется по обычным формулам сопротивления материалов без учета эффекта концентрации.

Обычно номинальное напряжение определяют для наиболее ослабленного сечения. Так, например, для полосы, ослабленной отверстием (рис. 424),

В тех случаях, когда определение напряжений в ослабленном сечении затруднено, для простоты расчета за σ_ном принимают напряжение в неослабленном сечении.

Очевидно, что теоретический коэффициент концентрации не может быть меньше единицы.

Величину коэффициента концентрации напряжений определяют либо с помощью методов теории упругости, либо экспериментальным путем.

Так, например, в теории упругости приводится решение для растянутой пластинки, ослабленной круглым отверстием, расположенным на оси симметрии. Если ширина пластинки В велика по сравнении: с радиусом отверстия r, то в наиболее ослабленном сечении К-К (см. рис. 424) напряжения σ_z определяются по формуле

где σ – среднее напряжение в сечении, достаточно удаленном oт места
ослабления;

у – расстояние от центра отверстия до точки, в которой определяется напряжение.

При . Таким образом, при и .

С увеличением у напряжения быстро убывают, асимптотически приближаясь к напряжениям α.

В точках т в вертикальных площадках возникают сжимающие напряжения.

Величина напряжений в вертикальном сечении определяется формулой

При , при . Как видно из эпюры (рис. 424), эти напряжения быстро затухают.

Приведенное точное решение может быть использовано лишь для случая пластинки, ширина которой велика по сравнению с диаметром отверстия (В ≥ 10r). С уменьшением ширины пластинки теоретический коэффициент концентрации напряжений возрастает, а напряжения у наружных краев пластинки (точки К, К) становятся меньше σ.

В таблице 14 приведены значения теоретического коэффициента концентрации напряжений для различных значений отношения диаметра отверстия к ширине пластинки.

Таблица 14

	3,00	3,03	3,14	3,36	3,74	4,32

Рис. 426

Как видно из таблицы при . Напряжения у наружных краев пластинки в этом случае будут равны

Следует отметить, что только для некоторых задач о концентрации напряжений найдены точные аналитические решения (двусторонняя или круговая выточка, отверстие и некоторые другие). В последнее время в связи с развитием вычислительной техники стали широко использоваться численные методы решения задач теории упругости. Эти методы позволяют с достаточной для практических целей точностью определить коэффициент концентрации в случае отверстий или выточек произвольной формы.

Рис. 425

Во всех других случаях определения величины коэффициента концентрации и закона распределения напряжений по сечению производятся экспериментальным путем, а именно: методами фотоупругости, тензометрии, методами лаковых покрытий, аналогий и др.

Концентрация напряжений как при растяжении, так и при других видах деформаций значительно зависит от формы отверстия или выточки.

Рассмотрим случай ослабления широкой пластинки эллиптическим отверстием (рис. 425). Точное решение представляется в виде

где а и b – полуоси эллипса.

С увеличением отношения a/b максимальные напряжения возрастают и при узком отверстии, расположенном перпендикулярно направлению растяжения, достигают очень большой величины. В связи с этим особенно большую опасность пред-ставляют тонкие прорези. Особенно большие нап-ряжения возникают у краев поперечных трещин. Чем тоньше трещины, тем больше напряжение в точ- ках, расположенных у ее края.

Концентрация напряжений возникает также при других видах деформаций. Так, например, при чистом изгибе полосы, ослабленной двумя симметричными выточками, имеющими форму гиперболы (рис. 426), теоретический коэффициент концентрации напряжений может быть найден по формуле

где a – полуширина полосы в месте ослабления;

r – радиус кривизны в глубине выточки.

Этой же формулой можно пользоваться для выточек другой формы, так как существенное влияние на коэффициент концентрации оказывает только кривизна у дна выточки. Так, например, с достаточной степенью точности эта формула может быть применена для выточек, показанных на рис. 427, а, б.

Теоретически при наличии выточки, имеющей острый угол, в точке, соответствующей вершине этого угла, напряжения равны бесконечности. Практически же из-за пластических деформаций напряжения не равны бесконечности, но достигают очень больших значений.

Для деталей, изготовленных из пластического материала, в котором площадка текучести принимается простирающейся безгранично (см. рис. 215), концентрация напряжений при статической нагрузке не опасна и может совсем не приниматься во внимание. Это объясняется тем, что максимальные напряжения в местах концентрации, достигая предела текучести, перестают увеличиваться и текучесть материала распространяется на остальную часть сечения. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к распространению текучести в глубь сечения, т. е. происходит выравнивание напряжений в ослабленном сечении.

Для хрупких материалов концентрация напряжений должна учитываться и при статическом приложении нагрузкипутем введения соответствующего коэффициента концентрации. В этом случае при достижении в ослабленном сучении наибольшего напряжения, равного величине предела прочности σ_В, появляется трещина, которая, быстро развиваясь, приводит к разрушению детали.

Следует отметить, что опасность концентрации напряжений значительно возрастает и при снижении температуры, так как материал становится более хрупким.

Концентрация напряжений особенно опасна при действии нагрузок, вызывающих переменные или знакопеременные напряжения. В этих случаях она должна учитываться как для пластических, так и для хрупких материалов, о чем более подробно будет сказано в гл. XIX [††††].

Рис. 427

Естественно, возникает вопрос о том, каким образом можно снизить концентрацию напряжений.

Из приведенных выше формул для коэффициента концентрации напряжений следует, что в различного рода трещинах, вырезах, выточках, в местах ступенчатого изменения площади поперечного сечения желательно заменять острые выточки плавными кривыми, т. е. увеличить радиус кривизны конца трещины или отверстия. Это приводит к снижению концентрации напряжений. Так например, для прекращения развития тре- щины в пластине достаточно на конце трещины про- сверлить отверстие. Это в значительной степени снизит коэффициент концентрации напряжений.

Рис. 428

В 1920 г. была опубликована классическая работа Гриффитса, в которой приводились результаты про- веденных им экспериментов с образцами, изготовленными из стекла различной толщины волокон. В этой работе отмечалось, что прочность волокон увеличивается с уменьшением их диаметра.

На рис. 428 приведен полученный Гриффитсом график зависимости прочности стеклянных волокон от толщины волокна. Из графика видно, что обычное стекло, применяемое в быту, имеет прочность значительно более низкую, чем прочность такого же стекла, но изготовленного из отдельных волокон малой толщины. Чем тоньше нити, тем они прочнее.