ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ДЛЯ СТЕРЖНЯ С ЛОМАНОЙ ОСЬЮ

При проектировании машин часто приходится рассчитывать брус, ось которого представляет собой пространственную линию, состоящую из отрезков прямых. Так, например, на рис. 276 показан брус, состоящий из трех стержней: АВ, ВС и CD. Два первых стержня лежат в одной плоскости, а стержень CD расположен в плоскости, нормальной к первой.

Рис. 276

Расчет таких стержней начинается с определения внутренних силовых факторов в ряде сечений. Для отыскания наиболее напряженного (опасного) сечения строятся эпюры силовых факторов

N, M_x, M_y, M_y, Q_x, Q_y.

В первую очередь необходимо для каждого из стержней назначить оси координат. Обычно ось, совпадающую с осью бруса, обозначают осью Oz, а две другие оси совмещают с главными осями инерции сечения.

Эпюры моментов и поперечных сил для каждого стержня строят, как для плоского бруса, с применением (для моментов) принятого ранее правила знаков (см. стр. 168). При этом мысленно располагают каждый из стержней по отношению к себе так, чтобы взор был направлен в начало координат со стороны положительной оси Ох (при построении эпюр Qy и М_х) или оси Оу (при построении эпюр Q_x и М_y). Рассмотрим пример построения эпюр для бруса, изображенного на рис. 276, когда на него действуют три силы:

На рис. 277 показаны эпюры нормальных сил N, изгибающих моментов М_х и М_у, крутящего момента M_z и поперечных сил Q_y и Q_x. Эти эпюры построены на основании вычисленных значений ординат для сечений, расположенных по концам каждого стержня. Крутящий момент будем считать положительным,

Рис. 277

если при взгляде на отсеченную часть со стороны сечения будет установлено, что момент М_z стремится повернуть сечение по ходу часовой стрелки.

Наиболее просто строится эпюра нормальных сил N. Рассекая стержень плоскостью, нормальной к его оси, и рассматривая равновесие отсеченной части, к которой приложены внешние силы, легко определить значение нормальной силы. Для этого необходимо спроектировать все силы на ось соответствующего стержня и из уравнения Σz=0 определить силу N. Эпюра N показана на рис. 277, а.

Несколько сложнее определяются изгибающие моменты. Рассмотрим подробнее вычисление изгибающих моментов М_х. В стержне АВ изгиб относительно оси х вызывает только одна сила P₂, поэтому эпюра моментов имеет вид треугольника. Наибольший момент будет в нижнем сечении, проведенном через точку В. Так как через эту точку можно провести два сечения, одно из которых относится к вертикальному стержню, а другое – к горизонтальному, то в дальнейшем обозначим момент буквой М с двумя дополнительными индексами вверху. Первый верхний индекс показывает точку, через которую проведено сечение, а два индекса вместе определяют стержень, для которого находится изгибающий момент. Например, – момент относительно оси х в сечении, проведенном в точке В, но относящимся к стержню ВА; – момент в сечении В, проведенном вертикальной плоскостью в стержне ВС. Длины стержней обозначим буквой l также с двумя индексами, определяющими концевые сечения стержня, например l_аЬ, l_Ьс и т. п.

Таким образом, имеем:

для стержня АВ

для стержня ВС

(растянутое волокно вверху); в точке С момент относительно оси х создают две силы:

для стержня CD

По этим данным построена эпюра М_x, которая показана на рис. 277, б.

Аналогичным образом построена эпюра М_y (рис. 277, в).

Более просто вычисляются крутящие моменты.

В стержне АВ крутящий момент равен нулю.

Рис. 279

Рис. 278

В стержне ВС

а в стержне CD

По этим данным построена эпюра крутящих моментов (рис. 277, г).

Поперечные силы Q_x и Q_y определяют как сумму проекций на оси х и у всех сил, действующих на отсеченную часть.

В соответствии с принятыми выше правилами знаков найдены поперечные силы в стержнях и по ним построены эпюры, показанные на рис. 277, д, е.

В зависимости от размеров и формы сечений для каждого элемента бруса по формуле (а) предыдущего параграфа можно определить нормальные напряжения и построить эпюру σ в заданном сечении: Суммарные касательные напряжения от двух поперечных сил Q_y и Q_x, а также от крутящего момента М_г должны быть получены путем геометрического суммирования.