Работа. Работа при вращательном движении. Мощность

Глава 3. Работа. Энергия

 

§ 10. Работа. Работа при вращательном движении. Мощность

 

Пусть к частице, массой m, приложена сила , частица за время dt совершила перемещение d. В дальнейшем, вместо dбудем использовать обозначение .

Определение работы:

(10.1)

Из свойств скалярного произведения следует

(10.2)

где - проекция на направление перемещения, - проекция на направление силы , - угол между векторами и.

Из (10.2) Þ [A] = Нм = Дж (джоуль).

(Обратите внимание: т.к. dS величина ® 0, то можно считать, что на перемещение dS сила = const).

Для того чтобы найти работу на всем пути надо весь путь разделить на малые участки, найти работу на каждом из них, а затем результат просуммировать. Таким образом, определение работы на всем пути сводится к интегрированию (10.1) или (10.2)

(10.3)

Индекс “” в (10.3) означает, что суммирование (т.е. интегрирование) проводится вдоль траектории обозначенной “”. Интеграл слева в (10.3) равен

(обратите внимание: , т.к. работа в точке 2 и точке 1 смысла не имеет). Таким образом

(10.4)

(в (10.4) написаны не все, а наиболее употребимые выражения для работы). Сила в уравнении (10.4) может быть как одна из действующих на тело сил (т.е. найдем работу этой силы) так и результирующая нескольких сил (т.е. получим работу результирующей силы).

Пример:работа постоянной силы, частица двигается прямолинейно: = const =>

Найдем работу при вращательном движении твердого тела вокруг оси, не меняющей своей ориентации в пространстве. На рис. 10.2 показана некоторая частица твердого тела, масса частицы, за время dt частица поворачивается на угол a. Работа совершаемая над частицей равна:

Þ;Þ

Множитель перед dj есть момент силы (уравнение (8.9)):

(10.5)

Складывая работу, совершаемую над каждой из частиц, получим работу, совершаемую при вращательном движении тела

Þ (10.6) (10.6)

Сумма в правой части (10.6) есть суммарный момент внешних сил относительно оси вращения (уравнение (9.9))

 

 

Þ (10.7)

Работа, совершаемая при повороте тела на угол Dj, определяется интегрированием уравнения (10.7):

(10.8).

Мощность Р - это работа совершаемая в единицу времени:

(10.9)

(Ватт)

Подставим в (10.9) уравнение (10.1):

С учетом (2.1), получим:

(10.10)

 

§ 11. Работа и кинетическая энергия. Кинетическая энергия при вращательном движении

 

Рассмотрим тело, центр инерции которого (точка “O”) в начальном положении (I) имеет скорость V₁, в конечном (II) – V₂; центр инерции двигается по траектории “l” (рис.11.1); тело вращается вокруг некоторой оси ;направление оси в пространстве не меняется.

Найдем работу, которая совершается при таком движении. Движение центра инерции описывается вторым законом Ньютона (§7).

, (11.1)

Работа результирующей силы равна (уравнение(10.4)):

(11.2)

Вращательное движение описывается законом динамики вращательного движения (уравнение(9.16)):

(11.3)

Работу при вращении найдем из выражения (10.8):

(11.4)

Работа A всех сил будет равна:

(11.5)

Подставим в (11.5) уравнения (11.1) и (11.3):

(11.6)

Т.к. , то:

(11.7)

Учтем, что

Следовательно:

(11.8)

В уравнение (11.8) учтено: в первом интеграле переменная - это , поэтому пределы надо брать для этой переменной (в начале пути V₁,
в конце – V₂); аналогично для второго интеграла - переменная
(в начале пути , в конце -). Постоянные m и - вынесем за знак . Тогда

(11.9)

С учетом (11.9), получим:

(11.10)

Величина

(11.11)

называется кинетической энергией. Первое слагаемое

(11.11а)

называется кинетической энергией поступательного движения и связано со скоростью центра инерции. Второе слагаемое

(11.11б)

называется кинетической энергией вращательного движения. Следовательно:

(11.12),

- работа всех сил, действующих на тело, равна приращению (изменению) кинетической энергии.

Если тело не вращается (т.е. двигается только поступательно), то

Если тело только вращается, то

V

Пример: колесо катится со скоростью V (рис.11.2). В этом случае колесо еще и вращается относительно оси, проходящей через центр тяжести колеса (точка “O”):

Найдем связь w и V. Пусть центр колеса прошел путь S, равный длине окружности колеса S = 2pR. Время этого движения t равно t = S/V. За это время каждая точка колеса (например, точка “A”) совершила полный оборот, т.е. повернулась относительно оси вращения на угол 2p

Следовательно:

Момент инерции колеса (обруч) относительно оси, проходящей через его центр (точку “O”) и перпендикулярной плоскости колеса, равен . Таким образом

Þ

Поле сил. Консервативные силы. Потенциальная энергия и работа консервативной силы. Потенциальная энергия в поле сил притяжения, потенциальная энергия упругой деформации

 

Если на частицу в каждой точке пространства действуют силы, то частица находится в поле сил. Например, вблизи поверхности Земли частица находится в поле сил тяжести - в каждой точке на нее действует сила . Если есть система зарядов, то на любой другой заряд (например ) в любой точке будет действовать силы кулоновского взаимодействия: заряд находится в поле электростатических сил.

Силы, работа которых не зависит от пути, называются консервативными (рис. 12.1а):

для любого пути из “1” в “2”.

На рис.12.1б показана замкнутая траектория. В точку “1” можно попасть, пройдя траекторию “l”, а можно не “выходя” из точки “1”. Во втором случае
A = 0 (т.к. перемещение равно 0). Поскольку для консервативной силы, работа не зависит от пути, то и работа на замкнутом пути “l” тоже равна 0. Таким образом, работаконсервативной силы по замкнутой траектории равна 0. Запишем уравнение (10.4), в котором в дальнейшем, будем вместо индекса “S” писать индекс “l ” (т.е. перемещение обозначим ).

, (10.4а)

где - проекция силы на перемещение . Если надо в (10.4а) указать, что траектория замкнутая, то интеграл записывается так:

Такой интеграл называется “циркуляцией”.

Т.к. работа по замкнутой траектории равна нулю, то из (10.4а) получим для консервативной силы

- для консервативной силы.

Следовательно, можно сказать: циркуляция консервативной силы по замкнутой траектории (пути) равна нулю.

Силовое поле, у которого силы консервативны, называется потенциальным. Поскольку, работа в таком поле не зависит от пути, она должна зависеть от состояния системы в начальном и конечном положении. Физическая величина, зависящая от положения системы в поле консервативных сил и определяющая работу этих сил, называется потенциальной энергией (). В этом случае работа равна:

(12.1)

Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.

 

Y   I           рис.12.1

Покажем, что сила тяжести - консервативная сила и найдем потенциальную энергию в поле сил тяжести. Для этого надо показать, что работа этой силы не зависит от пути.

Рассмотрим движение тела из точки I в точку II (рис.12.1) по некоторой, произвольной, траектории.

 

 

Из рис.12.1 видно:

 

 

(12.2)

Из (12.2) видно, что работа силы не зависит от пути: в уравнение (12.2) входят только величины и , определяющие начальное и конечное положение частицы. (Из вывода очевидно, что для любой другой траектории, начинающейся в точке I и заканчивающейся в точке II - результат не изменился бы). Сравнивая (12.2) и (12.1) находим, что потенциальная энергия в поле сил тяжести равна:

- при действии силы тяжести (12.3),

где h - расстояние от нулевого уровня до частицы или центра тяжести тела.

Рис. 12.2

Консервативной силой является также сила упругости. Найдем работу этой силы на примере пружины. (рис.12.2) На точку A действует сила упругости, модуль которой равен

Пусть в результате действия этой силы частица переместилась на . Т.к. , то можно считать, что сила не изменилась на перемещение

(12.4)

 

 

Сравнивая с (12.1) находим:

- при действии силы упругости (12.5)

 

Связь между консервативной силой и потенциальной энергией

Найдем связь между консервативной силой и потенциальной энергией на примере силы тяжести и силы упругости. Для произвольного положения частицы в точке с координатой y (рис. 12.1) в поле…