Математическое выражение второго закона ТТД

Для обратимого цикла Карно имеем ;откуда или

Учитывая, что теплота q₁ положительна, а теплота q₂ отрицательна, запишем:

, или , (6.1)

Это допустимо, если под q₂ понимать не абсолютное количество теплоты, отданной рабочим телом холодильнику с температурой Т₂, а его алгебраическое значение, которое по списку отрицательно.

Отношение q/T называется приведенной теплотой. Из уравнения (6.1) следует, что в обратимом цикле Карно алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю.

Нетрудно показать, что равенство (6.1) справедливо не только для цикла Карно, но и для любого обратимого цикла. С этой целью рассмотрим в pv - диаграмме произвольный обратимый цикл (рис. 6.1).

Проведем большое количествоблизко расположенных адиабат, которые разобьют произвольный цикл на бесконечно большое количество элементарных циклов efgh, fmng и т. д. Каждый такой элементарный цикл состоит из двух адиабат и двух элементарных отрезков контура данного цикла. Ввиду бесконечно малой длины этих отрезков изменения температуры по

Рис. 6.1 ним так же бесконечно малы.

Следовательно, в пределе эти отрезки можно считать изотермами, а циклы элементарными циклами Карно. Совокупное действие элементарных циклов одинаково с действием кругового цикла ABCD.

Работа расширения по адиабате fg цикла efgh равна работе сжатия по адиабате gf цикла fmng. Таким образом, адиабатные процессы в конечном счете не влияют на величину работы, теплота же во время этих процессов не подводится и не отводится. Суммарное действие элементарных циклов сводится к совокупному действию элементарных процессов ef, fin, ng, gh и т. д., т. е. одинаково с действием кругового процесса по контуру ABCD.

Для каждого элементарного цикла Карно справедливо соотношение (6.1). Суммируя эти соотношения для всех элементарных циклов, для рассматриваемого произвольного цикла получим , (6.2)

В пределе для бесконечно большого числа этих элементарных циклов, т.е. для цикла ABCD

С учетом (6.2), имеем , (6.3)

Известно, если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции состояния S, называется энтропией, т.е.

или , (6.4)

это выражение получено Клазиусом в 1834г, представляет собой математическое выражение второго закона термодинамики для обратимого цикла и называется первым интегралом Клазиуса.