При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U=.
Удельная потенциальная энергия — количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема: u = ; . В общем случае объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:
или
Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии uo, накапливаемой за счет изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии uф, связанной с изменением формы кубика (т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = uо + uф.
;
— тензор напряжений (матрица третьего порядка).
При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:
. При повороте системы координат коэффициенты тензора меняются, сам тензор остается постоянным. Три инварианта напряженного состояния:
Аналогичные зависимости возникают при рассмотрении деформированного состояния в точке. Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского состояния (аналогия):
ea — относительная деформация, ga — угол сдвига.
Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния. Поэтому имеем инварианты деформированного состояния:
J1= ex + ey + ez;
J2= exey +eyez + ezex — g2xy — g2yz — g2zx;
— тензор деформаций.
ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx — компоненты деформированного состояния.
Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций e1, e2, e3, тензор деформаций принимает вид: .