Закон всемирного тяготения

Лабораторная работа № 161. Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Введение

Ускорением свободного падения g называется ускорение относительно Земли, c которым свободное тело начинает падать. Это ускорение определяется суммой силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции.

Математическим маятником называется гипотетический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, а расстояние до точки подвеса l не меняется при колебаниях. Простые расчеты показывают, что при небольших углах отклонения от вертикали период этого маятника удовлетворяет соотношению:

(1)

Отсюда ясна идея одного из способов определения ускорения свободного падения. Необходимо измерить длину и период математического маятника.

Однако возникает вопрос: описываются ли свойства реального маятника моделью математического маятника?

Здесь стоит заметить, что выражение (1) утверждает прямую пропорциональность периода колебаний математического маятника от . Значит, если будет выяснено, что для нашего маятника такая зависимость имеет место, его можно считать математическим и определить ускорение свободного падения по формуле

(2)

Приступая к работе необходимо

Знать определения

вектора и составляющей вектора;

координат вектора;

проекции вектора на направление;

вектора угла бесконечно малого поворота, угловой скорости, углового ускорения;

системы координат и системы отсчета;

инерциальной и неинерциальной систем отсчёта;

массы тела, момента инерции тела;

силы, момента силы;

центра масс;

силы инерции;

ускорения свободного падения;

силы тяжести.

Знать

формулировку и границы применения уравнения динамики вращательного движения;

выражения для сил инерции;

уравнение движения материальной точки относительно земной вращающейся системы отсчета;

причины зависимости ускорения свободного падения от положения на поверхности Земли.

Уметь

измерять расстояния с помощью линейки;

измерять время ручным секундомером;

оценивать случайные погрешности прямых и косвенных измерений.

Цель работы

Измерение ускорения свободного падения.

Решаемые задачи

ü Знакомство с методом измерения ускорения свободного падения методом математического маятника;

ü Оценка адекватности описания имеющегося маятника моделью математического маятника;

ü Измерение ускорения свободного падения.

Экспериментальная установка

Приборы и принадлежности:

ü Массивный шар, подвешенный на труднорастяжимом шнуре;

ü Рулетка;

ü Секундомер.

Порядок выполнения работы

1. Укоротите шнур так, чтобы его длина между шариком и стальным кольцом равнялась бы 3-5 см. Высвободившийся конец шнура намотайте на крюк;

2. Измерьте длину маятника l – расстояние от точки подвеса до центра шара;

3. Отклоните шар так, чтобы шнур составлял с вертикалью угол не более 10° и отпустите шар;

4. Измерьте время 10 полных колебаний t₁₀ и найдите период колебаний T= t₁₀/10;

5. Увеличьте длину маятника на 5-10 см, смотав с крючка несколько витков шнура;

6. Повторите пп 2-4;

7. Повторяйте пп 5-6 до тех пор, пока длина маятника не превзойдёт 100 см.

Обработка и представление результатов

8. По результатам измерений, и проведя вычисления, заполните таблицу.

N	l, см	, см1/2	t10, с	T, с
…

9. Постройте график зависимости T( ). Выделите на нём линейный участок. По точкам этого участка, пользуясь выражением (2) найдите ускорение свободного падения.

Лабораторная работа № 162. Измерение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника

Введение

Ускорением свободного падения g называется ускорение относительно Земли, c которым свободное тело начинает падать. Это ускорение определяется суммой силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции.

Для определения ускорения gможно воспользоваться физическим маятником. Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. При отсутствии силы трения уравнение движения маятника выглядит следующим образом:

, (1)

где m - масса тела, I - момент инерции относительно точки подвеса, a - расстояние от точки подвеса до центра тяжести, j - угол отклонения маятника от положения равновесия. В случае малых колебаний в этом уравнении можно заменить sin j на j. В результате получим уравнение гармонического колебания с периодом:

(2)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так называется гипотетический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке. В этом случае формула (2) упрощается (так как I = ml² ,a = l, где l - длина маятника) и для ускорения свободного падения получим:

(3)

Отсюда ясна идея одного из способов определения ускорения свободного падения. Необходимо измерить длину и период математического маятника.

Сравнивая формулы (2) и (3), приходим к выводу, что физический маятник колеблется так же, как математический с длиной . Эта величина называется приведенной длинной физического маятника. Точка, удаленная от точки подвеса на расстояние l в направлении центра масс, называется центром качания. Если маятник подвесить за центр качания, то период его колебаний не изменится (теорема Гюйгенса).

Важно иметь ввиду, что тот же самый период колебаний маятника может получиться при закреплении его, вообще говоря, в бесконечном множестве точек. Такие точки называются точками взаимности. Исходя из этого определения, центр качания и точка подвеса являются точками взаимности, но не единственно возможными. Поэтому расстояние между точками взаимности, которые легко установить по совпадению периодов колебаний, не всегда совпадает с приведенной длиной. В том случае, если эти точки лежат на одной прямой с центром масс на разных расстояниях от него, расстояние между точками взаимности равно приведенной длине физического маятника.

Приступая к работе необходимо

Знать определения

вектора и составляющей вектора;

координат вектора;

проекции вектора на направление;

вектора угла бесконечно малого поворота, угловой скорости, углового ускорения;

системы координат и системы отсчета;

инерциальной и неинерциальной систем отсчёта;

массы тела, момента инерции тела;

силы, момента силы;

центра масс;

сил инерции;

ускорения свободного падения;

силы тяжести.

Знать

формулировку и границы применения уравнения динамики вращательного движения;

выражения для сил инерции;

уравнение движения материальной точки относительно земной вращающейся системы отсчета;

причины зависимости ускорения свободного падения от положения на поверхности Земли.

Уметь

графически решать уравнения;

измерять расстояния с помощью линейки;

измерять время ручным секундомером;

оценивать случайные погрешности прямых и косвенных измерений.

Цель работы

Измерение ускорения свободного падения.

Решаемые задачи

ü Знакомство с методом измерения ускорения свободного падения методом оборотного маятника;

ü Измерение периода колебаний маятника;

ü Измерение ускорения свободного падения.

Экспериментальная установка

Рис. 1

Приборы и принадлежности:

ü Оборотный маятник;

ü Рулетка;

ü Секундомер.

 

Оборотный маятник - устройство для определения ускорения свободного падения. Он состоит из стальной рейки, на которой жестко закреплены опорные стальные призмы П₁ и П₂ и массивное тело А, находящееся между ними (рис.1). Другое подобное тело В находится на одном из концов рейки (не между призмами). Оно может перемещаться по стержню и закрепляться в нужном положении. Перемещением этого тела достигают совпадения периодов колебаний маятника, когда точками подвеса являются ребра опорных призм П₁ и П₂. В этом случае ребра призм будут точками взаимности. Эти ребра закреплены асимметрично относительно центра масс С. Поэтому при совпадении периодов колебаний расстояние между ними дает приведенную длину физического маятника l. Измерив период его колебаний T, можно вычислить g по формуле (3).

Порядок выполнения работы

1. Рулеткой измерьте расстояние l между призмами.

2. Подвесьте маятник на одну из призм. Отклоните маятник на небольшой угол.

3. Отсчитайте как можно больше полных колебаний и определите по секундомеру время t₁, за которое они совершаются, рассчитайте период колебания T₁.

4. Подвесьте маятник на другую призму и найдите период T₂. При перевороте маятника старайтесь держать его как можно ближе к грузам.

5. Найдите периоды колебаний T₁ и T₂ для 7-10 положений чечевицы В.

Обработка и представление результатов

6. На одном поле координат постройте графики зависимости периодов колебаний T₁ и T₂ от положения чечевицы.

7. Найдите точку пересечения графиков, определите период колебания в точке взаимности T = T₁ = T₂.

8. Рассчитайте g по формуле (3).

Лабораторная работа № 163. гравитационной постоянной с помощью гравитационного торсионного балансира (весов) Кавендиша.

Приступая к работе необходимо

Знать определения

силы;

момента силы;

угла поворота;

частоты, амплитуды, фаза колебаний.

Знать

уравнение динамики вращательного движения;

закон всемирного тяготения Ньютона.

Уметь

запускать программы в среде Windows и пользоваться стандартными элементами их интерфейса (меню, контекстные меню, окна и т.д.);

оценивать случайные погрешности прямых и косвенных измерений.

Цель работы

Измерение гравитационной постоянной различными методами.

Решаемые задачи

ü Определение положение исходного равновесия торсионного маятника.

ü Регистрация затухающих колебаний у конечной точки равновесия торсионного маятника как функции времени.

ü Определение положение конечного равновесия торсионного маятника по методу отклонения.

ü Определение гравитационной постоянной G по времени осцилляций и разницы между положениями равновесия.

ü Определение гравитационной постоянной G методом ускорения.

Введение

Основу торсионного балансира (весов Кавендиша) составляет лёгкая поперечная планка с маленьким свинцовым шариком массы m₂ на каждом конце на расстоянии d от точки подвеса, подвешенная на тонкой упругой струне. На эти шарики действуют два больших свинцовых шара массы m₁. Не смотря на то, что сила взаимодействия меньше 10^–9 N его можно наблюдать с помощью очень чувствительного гравитационного торсионного балансира. Движение маленьких шариков наблюдается с помощью светового указателя (см. Рис.1.). Световое пятно создаётся освещённым вогнутым зеркалом, закреплённым на поперечной планке торсионного маятника. Используя данные о движении, массы m₁ и геометрии установки можно определить гравитационную постоянную, используя метод отклонения, или по более простому методу – методу ускорения.

Рис.1. Весы Кавендиша и схема светового указателя.

Метод максимального отклонения

Маленькие шарики (15 гр.) притягиваются гравитационным взаимодействием к большим свинцовым шарам (1,5 кг). Измеряется перемещение шариков по отклонению лазерного луча с помощью металлической линейки. Определяем силу кручения упругого стержня, для оценки гравитационного взаимодействия. Зная массы шариков, рассчитывается гравитационная постоянная.

Сила гравитационного взаимодействия между двумя шарами массами m₁ и m₂ находящимися на расстоянии b равна:

(I).

И момент силы приложенной к маятнику:

(II)

Когда два больших шара находятся в положении I (see Fig. 1).

Момент сил притяжения компенсируется моментом кручения стержня. И таким образом, маятник придёт к равновесию в положении a_I. Поворачивая большие шары в положение II, силы симметрично инвертируются. Момент сил соответственно становится M_II = – M_I. Маятник совершает затухающие колебания около равновесного положения aII. Разность моментов составляет:

(III).

Величина углового отклонения D может быть определена из периода колебаний T и момента инерции J торсионного маятника:

(IV).

Момент инерции равен моменту инерции двух маленьких шариков:

(V).

Т.о., (IV) преобразуется в:

(VI).

Из (I), (III) и (IV), получаем:

(VII).

Измерение угла поворота a:

На Рис.1 косвенно отражено измерение угла вращения с использованием светового указателя: луч света указателя перпендикулярен неотклонённому положения маятника (равновесное положение, когда большие шары убраны). Положение светового пятна в неотклонённом состоянии совпадает с нулевой точкой на шкале. Соответственное значение тангенса угла:

или (VIII)

Здесь угол поворота a, положение пятна S и расстояние от шкалы до маятника L₀, т.к. угол a очень мал.

На Рис.2, вогнутое зеркало освещено под горизонтальным углом b. Положение светового указателя O в неотклонённом состоянии маятника находится на расстоянии L₁ от соответствующей точки N нормали и расстоянии от вогнутого зеркала. Для поворота маятника на угол a относительно начальной точки, можно записать соотношение: и

Рис. 2 Диаграмма отклонения со световым указателям

В каждом случае угол a очень мал (не более 1.58°); размеры балансира не позволяют получать углы освещения больше 30°. Т.о., можно аппроксимировать . Учитывая что 2a = tan 2a, можно заключить:

(IX).

Выражение (IX) даёт систематическую ошибку 1 - 2 %; при расчете разницы между двумя положениями равновесия a_I - a_II, этой ошибкой можно пренебречь. В случае b = 0°, L₁ = 0 выражение (IX) даёт (VIII).

Выражение (IX) также верно когда луч отклоняется вверх или вниз. Если луч по горизонтали заходит за шкалу, и изменениями высоты указателя можно пренебречь.

Неотклонённое положение торсионного маятника (точка O на Рис.2) вообще не возможно определить до проведения эксперимента. Тогда, для определения L₁, измеряется расстояние между точкой N и приблизительным положением светового пятна в точке равновесия I. Приближение возможно т.к. a << 1. Если зеркало не освещено под очень большим углом, т.е. b<< 1, можно принять L₁ = 0.

Решение уравнения для метода максимального отклонения:

Из (VII) и (IX), мы получаем выражение для определения гравитационной постоянной:

(X)

Величины m₁ = 1.5 кг, d = 50 мм и b = 47 мм постоянные для этой установки. Величины для измерения: период колебаний T торсионного маятника, расстояние между двумя положениями светового пятна S_I and S_II для положений равновесия, a_I и a_II геометрии светового указателя. Определение S_I и S_II описано на следующем примере.

Противодействующий момент «второго» свинцового шара:

Рис. 3 Диаграмма показывающая как рассчитывать влияние «удалённого» шара.

Вместе с моментом обусловленным силой взаимодействия F с ближним свинцовым шаром (расстояние b), сила взаимодействия F₂ с удалённым шаром (расстояние d’) создаёт противоположный момент (см. Рис. 3). Т.о., для получения более точного выражения нежели (II), необходимо учесть в M_I:

, где соответствующая сила – компонента силы которая действует перпендикулярно поперечной перекладине (см. (I)). Гравитационная постоянная G таким образом больше сосчитанной по (X) на поправку

(XI)

Здесь: , и её численное значение K = 1.083.

Метод ускорения:

Метод ускорения. Измеряется ускорение маленьких шариков под действием силы притяжения больших, строится зависимость координаты шариков как функция времени. Перемещение шариков определяется отклонение луча лазера по линейке как функция времени с помощью секундомера. Непосредственно после перемещения больших шаров из положения I в II, скрученный стержень создаёт скручивающий момент - M_I приложенный к продольной перекладине так, что общий момент, приложенный к перекладине равен 2M_II. Это задаёт угловое ускорение , которое можно считать постоянным в первые несколько минут. Следовательно можно принять:

(XII)

Из(II), (V) и (XII), мы получаем и затем используя (IX)

(XIII)

Т.о. при использовании метода ускорения, разница S – S₁ положений светового пятна измеряется как функция времени t и геометрии установки.

Экспериментальная установка

Приборы и принадлежности

ü Балансир 332 101

ü Ne-He лазер, линейно поляризованный 471 480

ü Секундомер 313 05

ü Измерительная стальная лента, 2 м 311 77

ü Стойка штатива, V-образная 300 02

ü Вращающийся зажим 301 03

Рис. 4 Схема размещения установки.

ü Leybold универсальный зажим 301 01

ü Стержень штативный, 47 см 300 42

Примечания к эксперименту

Хорошие результаты измерения могут быть получены только при правильной настройке балансира. Торсионный колебания вызванные взаимодействием масс должны быть изолированы от любых других колебаний. Торсионные весы очень чувствительны к ударам при транспортировке и хранении. Разности температур воздуха могут создать конвекционные потоки, которые могут вызвать нежелательные движения маятника. Размещать установку необходимо на прочной стене. Выбранное место не должно быть освещено солнцем или находиться на сквозняке. При отклонении шаров, избегать ударов о корпус или шаров друг об друга. На Рис. 4 показана схема размещения установки.

Порядок выполнения работы

Подготовка эксперимента.

9. Прикрутить к стене не сильно 8-мм шурупом. Подвесить подставку за верхнюю точку и установить параллельно стене использую подгоночные винты (см. Инструкцию).

10. Зажать штативный стержень в подставке.

11. Установить балансир (без больших шаров) на расстоянии достаточном для поворота рычага с шарами.

12. Расположить балансир вертикально так, чтоб стеклянный кожух был параллелен стене.

13. Отпустить зажимающий механизм торсионного маятника и подстроить положение конца стержня прямо по середине трубки и маятник мог крутиться свободно.

14. Оставить маятник повисеть день-два, затем при необходимости перенастроить положение нулевой точки (см. инструкцию).

15. Закрепить лазер с помощью поворотного зажима на расстоянии около 35 см и направить его на вогнутое зеркало. Убедиться, что большие шары не заслоняют световой указатель и пятно в положениях I и II.

16. Установить свинцовые шары и повернуть в положение I.

17. Проверить вертикальную ориентацию установки.

Замечание: на расстоянии 10 см между балансиром и шкалой, расстояние между двумя конечными положениями шкалы около 35 см. Общая длина покрываемая указателем около 1 м.

18. – Приклеить шкалу горизонтально на стену так, чтоб положение пятна в позиции I было около 35 см, или в позиции II - около 65 см.

Проведение эксперимента

19. Дать установке постоять в течение как минимум 2 часов, маятник придёт в положение равновесия (если фиксирующий винт долгое время был зажат, возможно маятнику понадобится больше времени уравновеситься).

20. Проверить стабильность нулевой точки.

21. Проследить флуктуации нулевой точки в течение 10 минут.

22. Измерить и записать расстояние L₀ от маятника доя стены и расстояние L₁ от точки N до положения S_I (см. Рис. 2).

Упражнение 1 Метод максимального отклонения:

23. Подождать пока система придёт в равновесие, затем найти S_I и записать величину.

24. Быстро и аккуратно отодвинуть большие шары из положения I в II и запустить секундомер.

Записать положение светового пятна по шкале по крайней мере через каждые 30 секунд для более трёх периодов колебаний. Другой метод определения S_I: Отвести большие шары из положения II обратно в I и повторить измерения.

Упражнение 2 Метод ускорения:

25. Подождать пока система установится в равновесии, найти и записать S_I.

26. Быстро и аккуратно отвести большие шары из положения I в II и включить секундомер.

27. Записать положение светового пятна на шкале по крайней мере через каждые 10 секунд в течение одного периода колебания.

Обработка и представление результатов

По формулам (VII) и (X) пользуясь измеренными значениями определите гравитационную постоянную

 

Пример измерения

L₀ = 6385 мм, L₁ = 1370 мм

Нулевая точка на шкале не совпадает со световым пятном при неотклонённом положении маятника (как показано на Рис. 1 и Рис. 2). L₁ это расстояние от пятна в позиции S₁ и точкой нормали N.

a) Метод максимального отклонения:

S_I = 650 мм

Таблица 1: Максимальное смещение S светового пятна после отвода больших шаров положение II

 

No, мм	S, мм

 

b) Метод ускорения:

S_I = 650 мм

Таблица 2: Положение пятна S в первую минуту после отведения больших шаров положение II.

t, с	S, мм