Проанализируйте поведение системы при различных параметрах γ, σ, х0. Для этого:
1. Запишите закон изменения х(t) для заданных параметров.
2. Рассчитайте с помощью программы Excel или калькулятора х (t).
3. Постройте графики х(t). Кривые х(t) для разных γ должны быть представлены все на одном рисунке, соответственно для разных σ — на другом, для разных х0 — на третьем (см. примеры в теоретических сведениях).
4. Оцените из графиков характерные величины процесса:
а) Время Т0,5, когда численность особей изменится в 2 раза по сравнению с первоначальной. Сопоставьте с расчетными величинами:
Постройте график зависимости Т0,5 ( ).
Сделайте вывод о влиянии коэффициента роста на характерное время Т0,5
Сделайте вывод о влиянии ε на скорость изменения численности популяции в начальный момент времени.
Задача №1. Проанализируйте поведение системы при изменении коэффициента роста ε > 0 (γ>σ). Заполните таблицу:
| Параметры | γ, 1/час | σ, 1/час. | ε, 1/час. | X0 | Закон изменения х(t) |
| 1 система | 0,9 | 0,6 | 0,3 | ||
| 2 система | 1,0 | 0,6 | 0,4 | ||
| 3 система | 1,1 | 0,6 | 0,5 |
Задача №2. Проанализируйте поведение системы при изменении коэффициента роста ε <0 (γ<σ). Заполните таблицу:
| Параметры | γ, 1/час | σ, 1/час. | ε, 1/час. | X0 | Закон изменения х(t) |
| 1 система | 0,5 | 0,6 | -0,1 | ||
| 2 система | 0,4 | 0,6 | -0,2 | ||
| 3 система | 0,6 | -0,6 |
Задача №3. Проанализируйте поведение системы при коэффициенте роста ε=0 (γ=σ).. Заполните таблицу:
| Параметры | γ, 1/час | σ, 1/час. | ε, 1/час. | X0 | Закон изменения х(t) |
| 1 система | 0,6 | 0,6 |
Задача №4. Проанализируйте поведение системы при изменениях начальной численности особей x0. Заполните таблицу:.
| Параметры | γ, 1/час | σ, 1/час. | ε, 1/час. | X0 | Закон изменения х(t) |
| 1 система | 0,8 | 0,6 | 0,2 | ||
| 2 система | 0,8 | 0,6 | 0,2 | ||
| 3 система | 0,8 | 0,6 | 0,2 |
Задание 2. Модель изменения численности популяции с учетом внутривидовой конкуренции (модель Ферхюльста)
Усложним рассмотренную в предыдущем задании модель. С целью получения решения, лучше описываемого изучаемый объект, среди допущений, приведенных в модели 1, снимем допущение 3. Пусть существует борьба между особями, например, за место обитания, тем самым добавляется дополнительный источник гибели. Считая, что скорость гибели за счет конкуренции между особями пропорциональна вероятности встречи двух особей, можно записать S=-δx·x-σx (δ – коэффициент пропорциональности). Тогда уравнение баланса численности особей:
или
Это нелинейное дифференциальное уравнение. Сделаем замену переменных: u=(ε-δ·x)/х. Тогда с учетом, что при x=х0 получим:
ln(x/x0) –ln(ε-δ·x)/(ε-δx0))= ε·t
Отсюда
при t→ х→ХСТ = ε /δ.
Графики для различных параметров системы приведены на рис.2.2.