Движение системы тел вокруг неподвижного центра

Рассмотрим движение системы материальных точек относительно неподвижного центра. На рис.2.4 а это материальные точки 1, 2 и 3. Их положение относительно центра О задается соответствующими радиус-векторами , а движение характеризуется соответствующими импульсами

.

Для каждой из материальных точек запишем второй закон механики, разделив силы на внутренние и внешние, как это было сделано раньше:

(2.25)

и умножим векторно слева обе части равенства (2.25):

(2.26)

Ввиду свойства векторного произведения, можно записать: потому что

Введем новые характеристики:

(2.27)

- момент импульса материальной точки относительно центра, величины равной векторному произведению радиус-вектора материальной точки относительно центра О на импульс точки. Это величина векторная, как показано на рис 2.4 б. Размерность . Векторное произведение радиус вектора точки приложения силы на силу

(2.28)

называется моментом силы относительно центра. Направление вектора момента силы относительно центра определяется по правилу векторного произведения векторов, как и в случае момента импульса. Перепишем соотношение (2.26) с учетом введенных величин:

(2.29)

и найдем сумму по всем телам системы:

(2.30)

В соотношении (2.30) двойная сумма может быть переписанной так:

и по третьему закону механики равняется нулю потому что .

Таким образом, приходим к выводу, что

(2.31)

Известно, что операция нахождения суммы и дифференцирования по времени, независимы одна от другой и могут быть заменены местами:

(2.32)

Векторную сумму моментов импульсов материальных точек, создающих механическую систему

(2.33)

называют результирующим моментом импульса системы материальных точек относительно центра. Таким образом, для движения системы материальных точек относительно центра второй закон механики имеет вид:

(2.34)

и утверждает: скорость изменения результирующего момента импульса относительно центра равняется результирующему моменту внешних сил относительно этого же центра.

Если система тел замкнута, то

(2.35)

Соотношение (2.35) воспроизводит закон сохранения момента импульса: результирующий момент импульса замкнутой системы тел не изменяется во время движения системы; векторная сумма моментов импульсов тел, которые создают замкнутую систему, есть величина постоянная. Закон сохранения момента импульса является следствием изотропности пространства (в пространстве нет выделенных направлений или поворот системы на произвольный угол не изменяет физических свойств системы и законы ее движения).