Предадим векторный вид Введем радиус вектор мт… и учтем что направлена по касательной окружности. По построению видно, что перпендикулярна плоскости окружности.
Описываем изменение во времени при условии что его модуль const, а конец движ. со скоростью .
см(И3) в лекции№11
Мы переходим к случаю когда сист. отсчета НСО движется произвольно ИСО.
В общем случае это движение можно разложить на 2 состав. Первое это пост. и ускор. движ центра О-
этот случай мы рассмотрели ранее. Второе это вращательное движение сист. XOYZ с углов. скор. с
углов. ускор. ; -единые орты НСО.
Продеференцируем по времени, один раз
-это скорость мт в НСО. -это скорость в точке О в НСО.
Найдем с учетом разложения , а так же учитывая то что орты вращаются с
угловой скоростью .
;
; -скорость мт в НСО, - скорость нач. координат в НСО, -скорость Мт в НСО, - угловая скорость вращения.
№24. Общий случай движения НСО: ускорение.
Продеференцируем обе части ( Общий случай движения НСО: скорость.) по времени
-ускорение Мт в НСО; -ускорение т. О в НСО;
; ; ;
Подставим преобразования:
Является окончательной формулой и дает связь между и для произвольного движения НСО.
Вектор - Кориолисово ускорение.
Введем вектор - это вектор назыв. переносным ускорением, именно такое ускор. в НСО имеет Мт, которое покоится.
№25.Уравнение динами Мт в НСО.
; ;;
Применим 2 з. Ньютона для ИСО в S1:; -настоящая сила.
;
; -Это уравнение представляет собой основной закон динамики в НСО, для общего случая поступательного и вращательного ускоренного движения относительно ИСО
-Кореолесова сила инерции.
Первое слагаемое в с ускорением поступательного движения системы S. Основные 2 слагаемых возникают из-за ,вращательного движения НСО, с угловой скоростью и угловым ускорением .
Кореолесова сила определяется с одной стороны вращением НСО, а с другой скоростью Мт относительно S.
№26. Движение Мт относительно вращающейся Земли.
Рассмотрим S1 связанная с солнцем приблизительно инерциальна, система S связана с Землей, суточное вращение. Внешнюю реальную силу(результирующую).
;-сила притяжения Земли. -сила притяжения со стороны солнца.
- результирующая всех других сил.
Тогда закон механики
-ускорения центра Земли под действием гравитации солнца.
; ;
.
. (1)
По определению вектор определяемый из равенства называется вектором свободного падения.
(2)
Формулы (1) и (2) совместно являются уравнениями движения Мт.
№27. Вес тела. Маятник Фуко.
Весом тела называют силу приложенную к телу!!! Которая равна и противоположно направлена силе, с которой подставка действует на тело!
При этом мы считаем, что тело покоится относительно Земли (НСО).
Применим формулу ,
подставим
;
. (1)
С учетом того, что мы видим, что вес тела состоит из 2 частей:
(2)
согласно этой формуле вес тела есть векторная сумма силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции.
Фор-лы (1) и (2) есть конечные формулы вопроса (вес тела).
Пусть пл-сть колеб. совпадает с пл-ю рисунка.
Маятник имеет скорость,-начальная к траектории
;
1) -это состав. действ. вдоль нити, растягивающая ее.
2)-сила мала и она оказывает малое влияние, т. к. .
3)
и находятся в пл-ти доски. Эта сила направлена перпендикулярно доске, является частью силы Кориолиса и вызывает смещение пл-ти колебаний, и в результате это смещение становится заметным.
№28.Углы Эйлера.
Углы Эйлера -3 угла, которые описывают вращение системы S с тт. относительно S1.
Рис.1: -прямая по которой пересекаются плоскости и .
Дадим ряд определений:
Пл-ть пересекает пл-ть OXY по линии (линия узлов), полож. направление совпадает с вектором . .
По определению углы Эйлера называются углы:
Угол является углом собственного вращения.
Угол называется углом процессии.
Угол называется углом нутации.
№29.Вращательное движение.
Вращательное движение, при котором 2 его точки остаются всегда неподвижными, прямая проходящая через эти точки - называется осью вращения.
Все остальные точки не лежащие на оси описывают окружности в плоскостях оси вращения, центры этих окружностей лежат на оси вращения.
Рассмотрим какую либо точку, которая движ. по окружности. R-радиус, .
; -угловая скорость вращения тт.
№30.Уровнение движения твердого тела.
Мы говорили о том, что тт. есть СМТ мы доказали, что эта система обладает 6 степенями свободы, поэтому для описания СМТ необходимо 6 скалярных уравнений; ; ;
Эти уравнения есть уравнения описывающие динамику тт. – это 6 скаляр. уравнений
Уравнения моментов можно брать относительно произвольного неподвижного начала или относительно центра масс тт.. Можно также брать произвольно движ. начало, если только скорость его в любой момент времени параллельна скорости центра масс. При ограничение свободы движ. число независимых уравнений, требующихся для описания движ. тт. , уменьшается. Она всегда равна числу степеней свободы.
Внутренние силы не влияют на движ. тт.
№31.Моменты инерции.
(см. и5 лекции 14)
(1)
(2)
(3)
представим, что ,
(4)
(не такая экзотика для полупроводников)
вывод: если между проекциями физ. Величин сущ-ет связь типа (4), причем , то видим, что векторы, для которых эта связь справедлива, непараллельны
(5)
Формула (5) уже дает связь между и , но она достаточно неявна. Преобразуем (5), для этого рассмотрим проекции на оси координат.,
1) (;;)
(6)
(7)
(8)
Формула (8) дает связь проекции момента кол-ва движения ТТ и сразу с тремя проекциями вектора угловой скорости
Аналогично получим:
(9)
(10) Из формул (10) видно: (11)
Из 9-ти коэффициентов независимы только 6.
Величины , , называются
осевыми моментами инерции тв. тела.
Величины , ,
называются центробежными моментами инерции ТТ.
Величины , ,
называются центробежными моментами инерции ТТ.
Векторы и не параллельны. Такая связь, когда связываются 2 не параллельных вектора называется тензорной связью, и говорят, что эта связь определяется с помощью тензора 2-го ранга.
(12)
Тензор , введенный в формуле (12) с помощью (10) называется тензором инерции твердого тела.
Величины , и т.д., называются компонентами тензора.
Тензор называется симметричным тензором.
№32.Вычисление моментов инерции относительно оси.
Пусть ось Z есть ось вращения.
(1)
(2)
(3)
(4)
Момент инерции относительно оси.
( ; ; )
(; ;)
Этот предел если существует, то равен объемному интегралу
(5)
Формула (5) дает выражение для момента инерции относительно оси в случае непрерывного
расположения массы вещества.
№33.Теорема Гюйгенса-Штейнера
(см. рис в лекции №17)
Расм. произвольное тв. тело. Пусть точка О –центр масс этого тела, а ось проходит через центр масс. Пусть АВ – ось // и нах-ся на расстоянии а. пусть Ri- радиус i-той точки, лежащей в пл-сти xoy.
Ri отсчитывается от центра масс. (1)
Задача: сравнить осевой момент инерции относительно оси и оси АВ
от Iо
от АВI
(2)
(3)
(4)
(6) (5)
Ф-ла (2) и (5)
(7)
Формула (7) выражает теорему Гюйгенса-Штейнера.
№36. Движение тел с переменной массой.
,км/с
речь не идет о релятивистском изменении массы.
Мы называем тело телом с переменной массой если в процессе его движения масса тела меняется за счет потери или приобретения вещества.пример: 3-х ступенчатая ракета. Выгорает топливо, масса уменьшается.
Для получения уравнения движения тела с переменной массой нет необходимости привлечения новых физ. Принципов. Это ур-е следует из законов Ньютона.(см. и1 лекции 20 )
Пусть имеется ракета (см и1) которая имеет массу М(t).Пусть в неподвижной ИСО S скорость ракеты равна .Пусть в течении малого времени dt происходит выброс массы dm, причем скорость выброса есть u.Мы считаем что система замкнутая, для таких систем выполняется закон сохранения импульса, выполняется закон сохр. массы. Обозначим dM- уменьшение массы ракеты за dt.
dM<0 (2) следовательно мы имеем: dM+dm=0 (3)- закон сохранения массы. Импульс системы в момент времени t: (4)
(5)
Для общего случая: (6)
Когда действует внешняя сила:(7)
Получаем:
Мы пренебрегаем произведением как величину 2-го порядка малости
(8)
Мы учтем силу для общего случая:
(9)
Уравнение (9) описывает движение тела с переменной массой в ИСО S при наличии внешних сил F.
- относительная скорость газов относительно ракеты, тогда относительно S
(10)
(11)
Расписываем левую часть (9):
(12)
Обозначим через ежесекундный расход топлива
(13) {кг/с}
с учетом (3) перепишем (13)
(14)
(15)
Формула (15) есть главная формула данного вопроса.
Вектор (16) назовем реактивной силой.
Уравнение (15) называется уравнением Мещерского или уравнением движения тела с переменной массой для общего случая(в присутствии F).
№37. Формула Циолковского.
(см. и2 в лекции 20)
(1)
Спроецируем с учетом (1) на ось Z
(2)
Обозначим ,- значения массы и скорости перед включением двигателя ракеты
const
(3)
(4)
Формула (4) называется формулой Циолковского. Эта формула показывает насколько изменится масса ракеты при увеличении скорости от до . Из этой формулы можно узнать насколько изменится скорость ракеты. (5)
Из этой формулы видно, что для увеличения скорости при минимальном расходе топлива нужно увеличивать .
=(4~5)км/с
На практике используют ступенчатый принцип. Идею 3-х ступенчатой ракеты предложил Циолковский.
№38. Столкновения. Законы сохранения при столкновениях.
Пример: столкновение 2-х бильярдных шаров
.Если шары столкнулись, скорости их изменились, при этом происходит удар. Более сложный- опыт Резерфорда в котором изучалось столкновение - частиц с ядрами вещества.(см. и3 лекции 20)
При этом скорость меняется от до , и прямого удара не было.
Таким образом, есть только изменение скорости, но в физике это тоже относится к столкновению.
Столкновением называется взаимодействие 2-х или более тел (частиц) которое происходит в относительно малой области пространства и в течении малого времени, при этом скорости тел до взаимодействия и после взаимодействия измеренные в точках и времени отличаются друг от друга.
() L ~ x
() T ~ t
L и T к А правило параметры установки.
При столкновениях, как правило происходит изменение импульса, момента импульса, и энергии частиц.
Выполняются законы сохранения:
Мы учитываем рождение и уничтожение частиц.
(1)
Ф - ла (1) выражает закон сохранения импульса при столкновении частиц.
Мы знаем, что при ударе часть кинетической энергии шара уходит в тепло за счет неупругих деформаций
, -до удара
, -после удара
(2)
Ф – ла (2) выражает закон сохранения полной энергии при сохранении частиц.
№39. Абсолютно упругое столкновение двух шаров.
Если внутренняя энергия частиц после столкновения не изменяется, то такое столкновение называется упругим.
, ,
, ,
Если , то , .
При столкновении двух одинаковых шаров, они обмениваются скоростями.
№40. Абсолютно неупругое столкновение двух шаров.
Если внутренняя энергия частиц после столкновения изменяется, то такое столкновение называется неупругим. Это столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело.
Обозначим через V общую скорость шаров после столкновения. Закон сохранения импульса дает:
, где и - массы шаров. Отсюда получим:
Кинетические энергии системы до удара и после удара равны соответственно:
,
отсюда получим:
, где - приведенная масса шаров.
Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.
43.Математический маятник
(см. Л.№17.И.6)
Система (И.6) и состоящая из нерастяжимой нити длиной ,подвешенная в точке О. С сосредоточенной массой и находящаяся в поле силы тяжести называется математическим маятником .Мы считаем эту массу материальной точкой.
Найти закон движения м.т. на И.6 если ей сообщена либо начальная скорость, либо угол отклонения ,либо начальный импульс.
В основе решения любой задачи лежит закон природы. В данном случае это второй закон Ньютона записанный для вращательного движения (1)
; (2) (3) Сила натяжения нити не создает момента т.к..
(4) Проецируем ур-е (1) (5) ; (6)
Подставляя (6) в (5) получаем:(7)
Ур-е (7) называется дифференц. Ур-ем движения математического маятникаЭто не линейное ур-е.
Для решения (7) мы рассмотрим случай малых колебаний, именно он и реализуется в часах. (8).
(9)
Ф.(9) называется рядом Тейлора
; ; ;
При выполнении (8) ряд Тейлора можно оборвать на первом не нулевом члене. (10) С учетом (10) получаем (11)
Ур-е (11) называется линейным диф. Ур-ем движения математического маятника
; (12); (13);
Мы показали, что этот параметр введенный по формуле (13) имеет размерность квадрат частоты. С учетом (12) и (13) и (11) приобретает следующий вид: (14)
Это линейное дифференциальное ур-е движения математического маятника
ОЗМ:
Ур-е (14) решается стандартными методами ОДУ.-задано (15)
В теории ОДУ ур-е (14) совместно с (15) которое записывается в след. Виде: -(16) называется задачей Коши и имеет единственное решение.
Решением ур-я называется такая ф-ия , которая будучи подставлена в ур-е (14)представляет его в верное тождество
Мы покажем , что (17); -(18) является решением.
; ;
;
(19) Подставляем (19) и (17) в левую часть ур-я (14).
Мы видим, что искомое решение ур-я (14) представляет собой гармоническую ф-ию времени и периодическую.
По этой причине говорят, что система изобр.на (И.6) совершает колебания, т.е.периодические движения вокруг одной точки, которая является положением равновесия.
Величина А в законе движения (17) называется амплитудой колебаний круговая частота, начальная фаза.
Мы показали, что (20); из и.6 видно, что (21); (21) в (20), получим (22); (23); (24);; (25);
Ф.(25) дает период колебаний математического маятника. Мы вывели ее исходя из ур-я (14) и решения (17). Отметим, что Т независит от массы, а определяется только длиной нити и ускорением .