Понятие о градиенте скалярной функции. Связь между потенциальной энергией и силой

Градиент— вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на .Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы , действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии U. Значит, между силой и U должна быть связь , с другой стороны, dA = –dU, следовательно , отсюда

Вектор силы можно записать через проекции:

F=-gradU где

Следовательно, вектор направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U.