Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями.
Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.
1. Отношение называется симметричным, если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношения равенства, сходства, одновременности, различия и некоторые другие.
2. Отношение называется рефлексивным, если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства и одновременности.
3. Отношение называется транзитивным, если оно имеет место между х и z тогда, когда он имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является транзитивным тогда и только тогда, когда и отношения между х и у и между у и z следует такое же отношени между х и z.
Транзитивными являются отношения равенства, одновременности, отношения «больше», «меньше», «позднее», «находиться севернее, «быть ниже, выше» и т.п.
Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила, вытекающие из свойств отношений.
Из свойства симметричности вытекает правило :если суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно.
Из свойства рефлексивности вытекает правило: если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy.
Из свойства транзитивности) вытекает правило: если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждею xRz также истинно.
Таким образом, истинность заключения из суждений с отношениями зависит от свойств отношений и регулируется правилами вытекающими из этих свойств. В противном случае заключение может оказаться ложным.