Дискретная случайная величина: определение, закон распределения и функции распределения

1. Классическое и статистическое определение вероятности событий. Вероятностью случайного события А в данном испытании называется число, обозначаемое р(А) и вычисляемое по формуле: р(А)=m . (где n-число всех возможных элементарных событий А1….Аn, а m-число тех элементарных событий из всех возможных, которые благоприятствуют появлению события А. Для любого события А справедливо неравенство:0 < P(A) <1

Ситуация, когда полную группу составляют равновозможные события, называется классической. Поэтому определение вероятности по формуле р(А)=m , опирающееся на такое условие, называется классическим определением вероятности. В остальных случаях используют понятие «частоты» появления события А при проведении испытания.

Частотой р(А) появления события А (или статистической вероятностью события А) в серии П одинаковых независимых испытаний называется отношение m , где m-число испытаний, в которых наступило событие А.

 

2. Дискретная случайная величина: определение, закон распределения и функции распределения.

Случайной, называется величина, принимающая в результате испытания только одно значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайная величина Х называется дискретной, если в результате испытания она принимает одно из конечного или бесконечного множества значений х1,х2,…..

Случайная величина называется непрерывной, если множество ее значений заполняет полностью некоторый промежуток (a;b).

Законом распределения дискретной случайной величины называется зависимость между возможными значениями Хk (k=1,2,…) дискретной случайной величины и их вероятностями Pk (k=1,2,…).

1)Закон распределения может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указывают все возможные значения Хк случайной величины Х , расположенные в возрастающем порядке, а во второй строке- вероятности Рк этих значений.

2)Закон распределения может быть задан графически, в виде многоугольника распределения вероятностей, когда в прямоугольной системе координат строят ломаную линию, называемую многоугольником распределения, соединяющую последовательно точки с координатами.

3) Закон распределения может быть задан аналитически, с помощью формул:

Рк=Р(Х=х)= «фи»(Хк), к=1,2,…

Биноминальным назыв. Закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна Р, если вероятность Р(Х=к) появления события А равно к, раз вычисляется по формуле Бернулли.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

При стремлении к бесконечности произведение np остаётся равной константе , а закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

.

Функция распределения вероятностидискретной случайной величины Х, обозначаемой F(х),называется функция, определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

F(x)=P(X<x).

Свойства функции распределения:

Определена при х принадлежит промежутку от минус бесконечности к плюс бесконечности. (записать как формулу)

2) F(x) больше или рравен нулю и меньше или равен 1.

3) F(x) – неубывающая функция на (- беск;+ беск)

4) F(x)-непрерывна слева в точках Х=Хк (к=1,2,…) и непрерывна во всех остальных точках.

Числовые характеристики дискретной случайной величины, их свойства и формулы для их вычисления

Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn  

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины

Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в n независимых повторных… Р(Х=m)=Сmnpmqn-m  

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной СВ

Вероятность того,что абсолютная величина отклонения Х от ее математического ожидания м меньше положительного числа ∂,вычисляется по… 11.Первичная обработка выборочных данных: функция распределения, полигон частот.

Интервальный статистический ряд и переход к статистическому ряду с равностоящими вариантами, гистограмма частот.

Статистической совокупностью(или статис.рядом) соответствующей полученной выборке, называется набор значений(вариант) качественного или количественного признака объектов выборки, расположенных в порядке возрастания.

Гистограмма отн. частот- это ступенчатая фигура, построенная по правилу: на плоскости Оху на отрезках, изображающих промежутки статист.ряда, как на основаниях строят прямоугольники с высотами, равными относительным частотам соответствующих интервалов. Гистограмма строится в случае, когда выборка большего объема представленного интервальным статистическим рядом.

Точечные оценки числовых характеристик; основные требования, предъявляемые к этим оценкам.

Любая точечная статистическая оценка некоторого параметра, вычисляемая на основе статистического ряда, должна удовлетворять следующим требованиям: … ----при увеличении числа испытаний должна сходиться по вероятности к… ----математическое ожидание статистической оценки (как случайной величины при изменении числа испытаний) равно…

Формула расчета точечных оценок числовых характеристик; метод условных вариантов для упрощения их расчета

Интервальные оценки числовых характеристик; определение точности оценки и ее надежности.

При этом по вычисленной точечной оценке a* параметра a при заданной вероятности γ (гамма), называемой доверительной вероятностью, а также по… Число ε называется точностью оценки a*, границы интервала a*- ε и…

Доверительные интервалы для М(х) с известной и неизвестной дисперсией.

В котором выполняется равенство: (ФОРМУЛА 2) Где γ – заданная доверительная вероятность, m – истинное математическое ожидание,