Мнимой, или комплексной единицей называют число , получаемое при решении уравнения .
С введением комплексного числа, можно любое число z на множестве всех чисел представить в виде:
,
где Re – действительная часть числа, а Im – мнимая.
Число называют комплексно сопряженным числу z.
Квадратом модуля комплексного числа, по аналогии с квадратом модуля вектора, называют величину:
.
Из определения квадрата модуля комплексного числа, легко доказать формулу Эрланга:
,
где x – любое действительное число, а z – комплексное.
Докажем это, вычисляя квадрат модуля комплексного числа:
Применяя определения комплексного числа и формулу Эрланга можно доказать:
, где – константы, или:
и