ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

 

УСТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНА ИЗМЕНЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОПЫТА

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

События подразделяются на следующие. 1. Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно… 2. Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может. Например, появление…

II. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ И ХАРАКТЕРИСТИК

 

ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

Результаты измерения следует записывать в порядке их получения в виде отклонений от номинального значения размера или в виде фактических результатов… Ниже в качестве примера приводится таблица результатов измерения размера 42,5… В данном примере зона рассеивания R=0,28 мм. Разделим ее на 14 групп с интервалами h=0,02 мм и подсчитаем число…

Таблица 4

Номер интервала	Интервал	Середина интервала	Частоты mi	Частости
свыше	до	в условных обозначениях	в цифрах
1	-0,15 -0,13 -0,11 -0,09 -0,07 -0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11	-0,13 -0,11 -0,09 -0,07 -0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13	-0,14 -0,12 -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12			0,015 0,040 0,055 0,100 0,135 0,180 0,145 0,090 0,085 0,085 0,040 0,020 0,005 0,005

В условных обозначениях повторяемость отмечается следующим образом:

 

Встречаемость

…

 

Каждое последующее число получается из предыдущего добавлением точки или отрезка прямой. Этот способ подсчета наиболее удобен.

Для графического изображения эмпирических распределений строятся гистограммы и полигоны распределения.

Для случайных величин дискретного типа употребляются обычно полигоны распределений, для случайных величин непрерывного типа - гистограммы.

Полигоны распределений и гистограммы могут быть построены как по частотам, так и по частостям. Строить полигоны предпочтительнее по частостям.

Для построения полигона распределений по оси абсцисс (рис. 6) откладываются значения случайной величины, а по оси ординат - величины, пропорциональные частостям. Сумма ординат равна единице.

 

Рис. 6

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладываются в выбранном масштабе интервалы классов: от -0,15 до -13; от -13 до -11 и т. д. По оси ординат пропорционально частостям откладываются высоты прямоугольников.

Гистограмма изображает дифференциальный закон распределения случайной величины.

ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ

ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В зависимости от того, каким количеством цифр выражаются значения случайной величины, а также от объема выборки, может быть рекомендована различная техника вычисления параметров выборки.

А) Значения выборки заданы однозначными или двухзначными величинами.

Объем выборки N < 25

Последовательность вычислений рассмотрим на данных табл. 4. Для этого составляем табл. 5 и проводим некоторые вспомогательные вычисления, указанные… Таблица 5 Номер интервала Середина интервала хi … В конце колонок 3, 5, 6 проставлены суммы чисел соответствующих колонок.

Б) Значения выборки заданы многозначными величинами.

  В случаях, когда значения случайной величины (хi) заданы тремя и более…

Таблица 6

№	Интервалы	mi	xi	x'i	mix’i	mi(x’i)2	mi(x’i)3	mi(x’i)4
	27,5-29,5 29,5-31,5 31,5-33,5 33,5-35,5 35,5-37,5 37,5-39,5 39,5-41,5 41,5-43,5 43,5-45,5		28,5 30,5 32,5 34,5 36,5 38,5 40,5 42,5 44,5	-4 -3 -2 -1	-12 -27 -46 -33		-192 -243 -184 -33
	Сумма				-14		-170

 

Например, ; .

Вычисляем начальные моменты (а₁, а₂, а₃, а₄), равные:

;

 

Вычисляем центральные моменты (m₂, m₃, m₄),

m₂ = a₂ - a₁² = 2,706 - (- 0,082)² = 2,699;

m₃ = a₃ - 3a₁a₂ + 2a₁³ = - 1 - 3 (- 0,082) 2,706 + 2 (- 0,082)² = - 0,355;

m₄ = a₄ - 4a₁a₃ + 6a₁²a₂ - 3a₁⁴ = 18,659 - 4´(-0,082)´(- 1) +

+ 6´(- 0,082)² ´2,706 - 3´(-0,082)⁴ = 18,439.

 

Вычисляем среднее значение и среднее квадратическое отклонение величины Х

 

 

 

Вычисляем показатель асимметрии

 

и показатель эксцесса (крутизна)

В) Результаты эксперимента заданы выборкой небольшого объема.

Объем выборки N < 25

В тех случаях, когда объем выборки невелик, значения случайной величины делить на интервалы нецелесообразно. Определять моменты 3-го и 4-го порядков… Пусть в результате эксперимента получены следующие значения случайно… Среднее значение и дисперсия определяются по формулам

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯ ДОПУСКА

ПО ЭМПИРИЧЕСКОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ

В этом случае принимать за поле допуска величину размаха R нельзя, так как практически предельное поле рассеивания в общем случае никогда не равно… Если же за поле допуска принимать значение , то границы поля допуска будут… Задача состоит в том, чтобы выбранное поле допуска охватывало не менее 99,73% всей площади, ограниченной генеральной…

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ АСИММЕТРИИ

И ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАССЕИВАНИЯ

Часто требуется, кроме среднего значения и дисперсии, определять коэффициенты относительной асимметрии и относительного рассеивания (a_э, К_э). При их определении может быть несколько случаев.

А) Поле допуска задано и изменению не подлежит.

Рассмотрим пример по материалам табл. 5. Положим, что заданы нижнее отклонение НО = t1 = -0.14 мм и верхнее отклонение… По значениям t1 и t2 определяем координату середины поля допуска и половину поля допуска В рассматриваемом примере …

Б) Поле допуска не задано

Рассмотрим тот же пример. Нашли, что t1 = -0.2033; t2 = 0.1469; Dэ= -0.084 dэ = 0,1751. Для… Тогда

КРИТЕРИИ ДЛЯ НЕПРИНЯТИЯ РЕЗКО ВЫДЕЛЯЮЩИХСЯ

Очень часто на практике встает вопрос о том, следует отвергнуть или нет некоторые результаты эксперимента, резко выделяющиеся от остальных. Если… В тех же случаях, когда имеется лишь подозрение на то, что один или несколько… Последовательность вычисления рассматриваем на примере [*].

Таблица 9

N	l0,95	l0,99
	2,8 2,2 1,5 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8	3,7 2,9 2,0 1,8 1,7 1,6 1,5 1,3 1,2

Если полученное значений l больше значения, соответствующего, например, l_0,95, то при данном N с вероятностью 0,95 исследуемое наблюдение случайно, если менее, то признавать случайным его нельзя, и следует отбросить.

Рассмотрим пример.

Пусть имеем результаты наблюдений, расположенные в возрастающем порядке: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 17. Определяем и S:

В примере x_N+1 = 17; х_N = 11.

Определяем:

По табл. 9 находим, что для ближайшего N = 10; l_0,95 = 1,5. (l_0,95 = 1,5) < (l = 1,6). Поэтому значение x_N+1=17 необходимо отбросить.

 

ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭМПИРИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Подбор теоретической функции для эмпирического распределения

а) по опытным данным строится эмпирическая кривая; б) определяются параметры эмпирического распределения; в) выдвигается одна или несколько гипотез о функции плотности исследуемой случайной величины, исходя из внешнего вида…

Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим

В каждое теоретическое распределение ( в его дифференциальную или интегральную функции) входит несколько величин, называемых параметрами (… Данный закон двухпараметрический. Поэтому предварительно необходимо вычислить… Для вычисления воспользуемся данными, приведенными в табл. 5.

СРАВНЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ЧАСТОТ ПО КРИТЕРИЯМ СОГЛАСИЯ

Ниже приведена методика сравнения эмпирического и теоретического распределения по двум общепризнанным критериям. а) Критерий согласия Пирсона Критерий является наиболее состоятельным при большом числе наблюдений. Его состоятельность состоит в том, что он почти…

Б) Критерий Колмогорова

Применение данного критерия рассмотрим на том же примере.   Таблица 12   Номер интервала (№)         …

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

УСТАНОВЛЕНИЕ ВИДА ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Функционально зависимыми являются такие величины, у которых каждому значению одной величины соответствует вполне определенное (чаще всего одно)… Стохастически зависимыми называются такие величины, у которых различным… Остановимся на выравнивании эмпирических данных по некоторым видам функциональных зависимостей и на методике…

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn , где a0, a1, a2,..., an - неизвестные параметры. Для их нахождения… Последовательность вычисления и способы определения входящих в интерполяционную формулу коэффициентов покажем на…

О п р е д е л е н и е п а р а б о л ы н у л е в о й с т е п е н и

Определяем величину . Она равна. Для уравнения параболы нулевого порядка . Находим уравнение параболы нулевого порядка

О п р е д е л е н и е п а р а б о л ы п е р в о г о п о р я д к а

Вычисляем . Заполняем колонку 5, вычисляя значения . Заполняем колонку 6, вычисляя произведения и находим.

О п р е д е л е н и е п а р а б о л ы в т о р о г о и т р е т ь е г о п о р я д к а

Вычисляем произведение , заполняем колонку 8 и находим, что 9460. Вычисляем , заполняем колонку 9 и находим, что . Вычисляем , заполняем колонку 10 и находим, что .

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Величина (а) носит название ковариации.

О п р е д е л е н и е к о э ф ф и ц и е н т а к о р р е л я ц и и п о в ы б о р к е н е б о л ь ш о г о о б ъ е м а

Для выборки небольшого объема коэффициент корреляции удобно определять но формуле:   , (с)

Определение коэффициента корреляции по выборка большого объема

ОБЪЕМ ВЫБОРКИ N > 50

Пример. Определим коэффициент корреляции между случайными величинами размеров двух деталей, обрабатываемых одновременно на одном станке. После…   Таблица 15 Номер опыта (№)         …

Таблица значений P(l) критерия Колмогорова

l	P (l)	l	P (l)
0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,58 0,60 0,64 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95	1,000 0,9997 0,9972 0,9874 0,9639 0,9228 0,8896 0,8643 0,8073 0,7920 0,7112 0,6272 0,5441 0,4653 0,3927 0,3275	1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50	0,2700 0,1777 0,1122 0,0681 0,0397 0,0222 0,0120 0,0062 0,0032 0,0015 0,0007 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000

 

Приложение 4

Таблица значений

r
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,99	0,0000 0,1003 0,2027 0,3095 0,4236 0,5493 0,6932 0,8673 1,0986 1,4722 2,6466	0,0101 0,1104 0,2132 0,3205 0,4356 0,5627 0,7089 0,8872 1,1270 1,5275 2,6996	0,0200 0,1206 0,2237 0,3316 0,4477 0,5764 0,7250 0,9077 1,1568 1,5890 2,7587	0,0300 0,1308 0,2342 0,3428 0,4599 0,5901 0,7414 0,9287 1,1881 1,6584 2,8257	0,0400 0,1409 0,2448 0,3541 0,4722 0,6042 0,7582 0,9505 1,2212 1,7381 2,9031	0,0501 0,1511 0,2554 0,3654 0,4847 0,6184 0,7753 0,9730 1,2562 1,8318 2,9945	0,0601 0,1614 0,2661 0,3767 0,4973 0,6328 0,7928 0,9962 1,2933 1,9459 3,1063	0,0701 0,1717 0,2769 0,3884 0,5101 0,6475 0,8107 1,0203 1,3331 2,0923 3,2504	0,0802 0,1820 0,2877 0,4001 0,5230 0,6625 0,8291 1,0454 1,3758 2,2976 3,4534	0,0902 0,1923 0,2986 0,4118 0,5361 0,6777 0,8480 1,0714 1,4219 2,6467 3,8002

 

Приложение 5

Значение функции

t
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1											Значения, помещенные выше, служат для нахождения Ф(t) по величине t с тремя десятичными знаками.
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
											t	Ф(t)	t	Ф(t)
3,0											3,50		3,80
3,1											3,55		3,90
3,2											3,60		4,00
3,3											3,65		4,50
3,4											3,70		5,00

Примечание. Значение 0 для Ф(t) опущено, а для t=3,0-3,49 опущено 0,4 (помещены десятичные значения, начиная со второго знака после запятой).

Пример: t=3,25; Ф(t)=0,49942.