Явления переноса

 

Мы рассмотрим три явления переноса: теплопроводность, внутреннее трение и диффузию. Диффузия заключается в возникновении в газах или жидкостях направленного переноса массы. Внутреннее трение- это перенос импульса, а теплопроводность заключается в направленном переносе внутренней энергии.

Рассмотрим длину свободного пробега частиц l, т. е. расстояние, которое в среднем проходит молекула между столкновениями. За время D t молекула пройдёт растояние <V> D t. Спрямим ее путь (рис.1.8).

Рис.1.8. Молекула столкнется со всеми молекулами, центры которых окажутся на расстоянии меньше 2r

Введём радиус молекулы как радиус такого твёрдого шарика, которым можно заменить молекулу при рассмотрении ее столкновений. По пути молекула заденет все другие молекулы, центры которых находятся в цилиндре радиусом 2r и длиной <V>Dt(рис.1.8).

Число D Z столкновений за время D t равно числу молекул внутри цилиндра, а эта величина произведению объема цилиндра p(2r)²<V>Dt на концентрацию молекул n₀:

D Z = p(2r)² <V> D t ×n₀ = 4pr² <V> D t ×n₀ , где n₀ - концентрация молекул

Учитывая за счёт относительного движения молекул, получим число столкновений за единицу времени: Z = DZ/Dt = 4p r²<V> n₀ = 4s <V> n₀ . Величина s = pr² называется эффективным сечением молекулы.

Итак, мы получили длину свободного пробега : (1.15)

Длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации молекул n₀ (давлению).

а) Диффузия - это перенос массы из мест с большей плотностью r к местам c меньшей плотностью (рис.1.9).

Перенос массы DМ пропорционален:

DМ ~-Dr/DZ - градиенту плотности r (его физический смысл - изменение плотности на 1 длины).

DМ ~ S - площади переноса

DМ ~ Dt – времени переноса

 

В результате получаем уравнение диффузии:

DМ = - D(dr/dZ) SDt уравнение диффузии (Закон Фика) (1.16)

 

D - называют коэффициентом диффузии. Из классической молекулярно-кинетической теории можно показать, что D = (1/3) <V> l, где <V> - средняя скорость движения молекул, l - длина свободного пробела.

б) Теплопроводность - перенос теплоты (внутренней энергии) от более нагретых частей к менее нагретым (рис.1.10).

Перенос тепла пропорционален:

DQ ~ -DT/DZ - градиенту температуры

DQ ~ S - площади переноса

DQ ~ Dt - времени переноса

В результате получаем уравнение теплопроводности: , (1.17)

где c - называется коэффициентом теплопроводности. Из классической теории где - удельная теплоемкость при постоянном объеме, r - плотность, l - длина свободного пробега.

в) Внутреннее трение - (вязкость) возникает между слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями (рис.1.11).

Сила трения разгоняет медленный слой и тормозит быстрый.

Сила трения пропорциональна:

F_тр ~ -DU/DZ - градиенту скорости потоков

F_тр ~ S – площади соприкосновения слоев

В результате получаем уравнение для внутреннего трения:

(1.18)

где h - коэффициент внутреннего трения (динамичная вязкость) .Из классической теории можно получить:

h = (1/3)r<V>l,

где r - плотность вещества,<V> - средняя скорость молекул, l - длина сводного пробега молекул.

Из (1.16), (1.17) и (1.18) получаем связь между коэффициентами переноса:

c =h ; h = r D.

 

Лекция 3. 4. Основы термодинамики

 

3.1. Основные понятия

 

Термодинамика не интересуется строением тел, а изучает превращение энергии, происходящее в системе (теплообмен, работа над телами и др.)

Термодинамика основывается на трёх опытных законах, началах:

1 начало - аналог закона сохранения энергии;

2 начало - указывает направление процессов;

3 начало - о том, при температуре абсолютной нуля система переходит в состояние с минимальной потенциальной энергией, а тепловое движение замирает

Изолированная система - система, не взаимодействующая с окружающей средой.

Замкнутая система - механически изолирована, но возможен теплообмен с окружающей средой.

Адиабатически изолированная система – это система, в которой нет теплообмена с окружающей средой, но возможно механическое взаимодействие.

Равновесное состояние - состояние, в которое приходит изолированная система со временем (после этого состояние системы не изменяется во времени).

Для равновесного состояния вводят термодинамические параметры состоя­ния: давления Р, температура Т, объём V.

Опыт показывает, что параметры состояния взаимосвязаны некоторым уравне­нием, которое называют уравнением состояния:

(3.1)

 

3.2. Работа в термодинамике

 

Рассмотрим газ в цилиндре с поршнем, площадь которого равна S. (рис.3.1). Пусть газ сдвигает поршень на расстояние dX.

При квазистатическом (квазиравно­весном) расширении газа он совершит работу:

Итак, мы получили выражение для элементарной работы газа:

Рис.3.1. При элементарном расширении газ совершает работу dА=PdV

(3.2)

При медленном квазистатическом расширении внешние силы равны силе давления газа, но противоположно направлены. Поэтому работа внешних сил: δА_внеш= - δА (3.3)

Работа при конечном приращении объёма складывается (интегрируется) из элементарных работ:

(А₁₂ > 0, А₂₁ < 0) (3.4)

Рис.3.2. Элементарная работа δА=РdV на графике соответствует площади заштрихованного столбца. Вся работа газа А12 равна площади под кривой 1-2.

Если при переходе газа из точки 1 в точку 2 газ расширяется dV>0, работа газа получится положительной А₁₂ >0. При обратном процессе, переходе из точки 2 в точку 1, газ сжимается dV<0, и работа газа отрицательна А₂₁ <0.

Работа равна площади под кривой перехода в координатах Р,V (см. рис.3.2).

А21<0

Работа зависит от пути перехода, значит, не является функцией состояния (см. рис.3.3).

Рис.3.3 а) работа газа А₁₂>0; б) работа газа А₂₁<0; в) работа в замкнутом цикле А₁₂₁>0 и равна площади внутри замкнутой кривой; г) в обратном цикле А₁₂₁<0.

 

Найдем работу газа в различных изопроцессах:

 

а) изохорный процесс V=const. Площадь под изохорой равна нулю, следовательно А₁₂=0

 

б) изобарное расширение газа: P=const. Работа А₁₂ равна площади заштрихованного прямоугольника А₁₂=Р(V₂-V₁)

 

в) изотермическое расширение газа: T=const.

= (m/m) RT ln (V₂/V₁),

где V₂ и V₁ - объем газа в начальном и конечном состояниях, соответственно.
3.3. Внутренняя энергия

 

Опыты Джоуля по определению механического эквивалента теплоты позволили ему сформулировать следующий закон:

В адиабатически изолированной системе работа внешних сил не зависит от пути перехода, а зависит только от начального и конечного состояния системы. (Это 1-ое начало термодинамики для адиабатической системы).

Внутренней энергией системы называется функция состояния, приращение которой в адиабатическом процессе равно работе внешних сил над системой

(в адиабатической системе) (3.5)

Внутренняя энергия определена с точностью до постоянного слагаемого, но практически это не важно, т. к. используется либо DU, либо dU/dX (произ­водные).

Внутренняя энергия включает энергию всевозможных видов движения и взаимодействия всех частиц термодинамической системы (кинетическая энер­гия атомов и молекул, потенциальная энергия всех частиц, включая ядра и т. д.).

(Внутренняя энергия не включает кинетическую энергию и потенциальную энергию термодинамической системы как целого).

 

3.4. Количество теплоты. Первое начало термодинамики

 

Энергию термодинамическая система может получать двумя путями: в виде работы, совершаемой внешними силами, и в виде тепла (теплообмен).

Энергия, переданная системе окружающей средой в результате теплооб­мена, называется количеством теплоты, полученной системой. При переходе системы из состояния 1 в 2 по общефизическому закону энергия сохраняется. В этом заключается смысл 1-го начала термодинамики.

1-ое начало термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы

Q₁₂ =(U₂-U₁)+A₁₂ 1-ое начало термодинамики (3.6)

где Q₁₂ – теплота, полученная системой в процессе 1-2; U₁,U₂ - внутренняя энергия системы в состояниях 1 и 2, соответственно; А₁₂- работа, совершенная системой при переходе 1→2.