Капиллярные свойства капельной жидкости

 

Молекулы жидкости, расположенные у поверхности контакта с другой жидкостью, газом или твёрдым телом, находятся в условиях отличных от условий, в которых находятся молекулы, лежащие внутри объёма жидкости и окружённые такими же молекулами. Отличается и их энергия на величину поверхностной энергии Э_п, которая пропорциональна площади поверхности раздела w:

 

Э_п = s × w, (1.14)

 

где s - коэффициентповерхностногонатяжения, Дж/м².

Поверхностное натяжение капельной жидкости обусловлено силами взаимного притяжения молекул поверхностного слоя, стремящихся сократить свободную поверхность жидкости.

Коэффициент поверхностного натяжения s - это энергия на единицу площади или сила на единицу длины:

 

s = = , (1.15)

 

где F_п – сила поверхностного натяжения, Н;

l – длина линии, ограничивающей поверхность раздела w, м.

Коэффициент поверхностного натяжения s зависит:

· от природы соприкасающихся сред;

· от чистоты жидкости;

· от температуры.

Например, при температуре 20 ⁰С для соприкасающихся сред имеем:

 

вода – воздух s = 0,073 Дж/м²;

 

ртуть – воздух s = 0,18 ДЖ/м².

 

Вещества, снижающие величину коэффициента поверхностного натяжения, называются поверхностно-активными веществами (ПАВ).

При повышении температуры коэффициент поверхностного натяжения снижается, а в критической точке перехода жидкости в пар – равен нулю.

Влияние поверхностного натяжения приходится учитывать при работе с жидкостными приборами для измерения давления, при истечении жидкости из малых отверстий, при образовании капель в свободных струях.

Посмотрим, что происходит на поверхности раздела трёх фаз – твёрдой, жидкой и газообразной (рис. 2). Между поверхностью жидкости и твёрдой стенкой образуется краевой угол Q (тета).

 

 

а) б)

Рисунок 2 – Поведение жидкости на поверхности раздела трёх сред

 

Жидкость смачивает поверхность, если краевой угол Q менее 90⁰ (острый угол). Если краевой угол Q больше 90⁰, то жидкость не смачивает поверхность. Если краевой угол Q = 180⁰, то имеет место полное несмачивание.

От явления смачивания зависит поведение жидкости в капиллярах, В случае смачивания жидкость в трубке поднимается над уровнем свободной поверхности (рис. 3,а), а в случае несмачивания – опускается ниже уровня свободной поверхности жидкости в резервуаре (рис. 3, б).

 

 

а) б)

Рисунок 3 – Поведение жидкости в капиллярах

 

Высота капиллярного поднятия (или опускания) жидкости в трубке находится по формуле:

 

Dh = × cosQ, (1.16)

 

где g - удельный вес жидкости;

r – радиус трубки.

Величина называется капиллярной постоянной.

Во всех явлениях, происходящих при совместном действии сил поверхностного натяжения и сил тяжести значительную роль играет капиллярная постоянная.

 

Тема 2 Силы, действующие на текучее тело

 

Под действием внешних сил масса жидкости может или сохранять равновесие, или перейти в состояние движения.

По характеру действия различают массовые и поверхностные силы.

Массовые силы F_m действуют на каждую единицу массы m тела. Они пропорциональны массе m или объёму жидкости V (если плотность среды во всём объёме постоянна r = const).

 

F_m = k × m.

 

где k – коэффициент пропорциональности.

К массовым силам относятся: сила тяжести (вес) G = m × g; сила инерции, центробежные, электромагнитные силы.

Поверхностные силы F_w действуют на единицу поверхности (силы давления, трения, сжатия), то есть они пропорциональны размеру площадки w, на которую они действуют:

 

F_w = р × w,

 

где р – коэффициент пропорциональности – напряжение.

Поверхностные силы проявляются на граничных поверхностях рассматриваемого объёма среды.

 

Статика текучего тела (Гидростатика)

 

Гидростатика (от греческого хюдор – вода и статике – равновесие) – раздел гидрогазодинамики, который изучает законы равновесия жидкостей под действием приложенных сил, а также действие жидкости, находящейся в состоянии покоя, на погруженные тела и ограничивающие стенки.

Гидростатика капельных и газообразных жидкостей рассматривает жидкости, находящиеся в состоянии равновесия (покоя).

Покой жидкости может быть абсолютным и относительным.

Равновесным называется такое механическое состояние массы жидкости, при котором на неё не действовали и не действуют внешние силы и каждая частица этой массы или остаётся неподвижной относительно данной системы координат, или движется с одинаковой для всех частиц скорость, так что взаимное расположение частиц этой массы остаётся неизменным.

 

Тема 3 Гидростатическое давление и его свойства

 

Рассмотрим произвольный объём жидкости (рис. 5, а), находящийся в равновесии под действием внешних сил. Рассечём этот объём какой-либо плоскостью и мысленно отбросим часть, находящуюся с одной стороны от этой плоскости. Для сохранения условия равновесия её действие на оставшуюся часть заменим какой-то равнодействующей силой F. Если на секущей плоскости выделить элементарную площадку Dw, то на неё будет действовать часть равнодействующей силы DF. При уменьшении площади Dw до нуля предел отношения называется гидростатическим давление р в данной точке жидкости.

Сжимающее напряжение в покоящейся жидкости называется гидростатическим давлением:

 

р = (3.1)

или

р = . (3.2)

 

Гидростатическое давление характеризуется тремя основными свойствами.

1. Гидростатическое давление направлено нормально к поверхности, на которую оно действует и создаёт только сжимающие напряжения.

Действительно, в жидкости практически не возникают растягивающие напряжения, а если она находится в покое, то в ней нет и касательных напряжений. Не может давление действовать и на площадку под углом, отличающимся от 90⁰. В этом случае давление можно было бы разложить на нормальное и касательное (рис. 5, б). А касательные напряжения могут возникнуть только при движении жидкости. Поэтому в рассматриваемом случае давление может быть только нормальным к площадке и создавать только сжимающие напряжения.

 

 

 

Рисунок 5

 

2. В любой точке жидкости гидростатическое давление одинаково по всем направлениям р_x = р_y = р_z = р_n.

Выражением второго свойства гидростатического давления является закон Паскаля: давление на свободную поверхность (внешнее давление) передаётся во все точки покоящейся жидкости без изменений.

3. Гидростатическое давление в точке зависит только от её положения в пространстве р = f(x, y, z).

Давление является скалярной величиной, а сила давления – вектор.

В единицах SI давление измеряется в паскалях (Па):

 

1 Па = 1 .

 

Паскаль связан с другими единицами измерения давления следующими соотношениями:

 

1 атм. (физическая атмосфера) = 101325 Па = 760 мм рт. ст.;

 

1 ат (техническая атмосфера) = 1 = 9,81 × 10⁴ Па;

 

1 бар = 1 × 10⁵ Па;

 

1 мм вод. ст. = 1 = 9,81 Па;

 

1 мм рт. ст. = 1 Торр = 133,3224 Па.

 

 

Тема 4 Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

 

Выберем внутри покоящейся жидкости параллелепипед с рёбрами, параллельными координатным осям 0x, 0y, 0z и равными соответственно dx, dy и dz (рис. 7).

 

 

Рисунок 7 – К выводу дифференциального уравнения равновесия текучего тела

 

Составим уравнения равновесия этого параллелепипеда в виде уравнений проекций сил на координатные оси:

 

å F_x = 0; å F_y = 0; å F_z = 0

 

Проектируя силы на ось 0x имеем:

 

å F_x = dF – dF¢ + dG×cosa = 0, (4.1)

 

где dG – равнодействующая массовая (объёмная при r = const) сила;

a, b, g – углы, образованные равнодействующей массовой силой dG с координатными осями 0x, 0y и 0z соответственно;

dF и dF¢ – поверхностные силы, действующие на грани ABCD и A¢B¢C¢D¢.

Поверхностные силы dF и dF¢ равны:

 

dF = р × dy × dz; (4.2)

 

dF¢ =р¢ × dy × dz,

 

где р и р¢ – средние гидростатические давления на площадки ABCD и A¢B¢C¢D¢ соответственно.

Гидростатическое давление является функцией координат и при переходе от грани ABCD к грани A¢B¢C¢D¢ изменяется только координата x. Следовательно, можем записать:

 

р¢ = р + × dx,

 

и сила dF¢ равна

 

dF¢ = (р + × dx) × dy × dz. (4.3)

 

Проекция массовой силы равна:

 

dG × cosa = dm × j × cosa = r × dV × j × cosa = r × dx × dy × dz × j × cosa,

 

где j – ускорение массовой силы.

Обозначим проекции ускорения внешней массовой силы на координатные оси 0x, 0y и 0z:

 

X = j × cosa;

 

Y = j × cosb;

 

Z = j × cosg.

 

Проекция массовой силы равна:

 

dG × cosa = r × dx × dy × dz × X. (4.4)

 

Подставляя в уравнение (4.1) уравнения (4.2), (4.3) и (4.4), запишем:

 

р × dy × dz – (р + × dx) × dy × dz + r × X × dx × dy × dz = 0.

 

Получаем уравнение проекций сил на ось 0x в виде:

 

– + r × X = 0.

 

Аналогично можно получить и уравнения проекций сил на оси 0y и 0z. Система уравнений равновесия жидкости (уравнения гидростатики Эйлера) запишется в виде:

 

– + r × X = 0;

– + r × Y = 0; (4.5)

 

– + r × Z = 0.

 

Таким образом, для равновесия массы жидкости необходимо, чтобы сумма всех внешних поверхностных и массовых сил, или их проекций на координатные оси равнялась нулю.

Умножив каждое из уравнений (4.5) соответственно на dx, dy и dz и сложив, получим:

 

× dx + × dy + × dz = r × X × dx + r × Y × dy + r × Z × dz.

 

Так как давление р зависит только от трёх независимых переменных координат x, y, z, левая часть последнего уравнения представляет собой полный дифференциал функции р = f(x, y, z):

 

dp = × dx + × dy + × dz.

 

Тогда

 

dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz). (4.6)

 

Уравнение (4.6) называется основнымдифференциальнымуравнениемгидростатики.

 

Тема 5 Поверхность уровня

 

Поверхность, во всех точках которой давление жидкости одинаково называется поверхностью равного давления (или поверхностью уровня).

Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково р = const, то изменение давления dp = 0. Из основного уравнения гидростатики (4.6) dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz) получим

 

r × (X × dx + Y × dy + Z × dz) = 0.

 

Так как плотность r ¹ 0, то

 

X × dx + Y × dy + Z × dz = 0. (5.1)

 

где X, Y и Z – проекции ускорения массовой (объёмной при r = const) силы на координатные оси.

Уравнение (5.1) представляет собой дифференциальное уравнение поверхности равного давления, то есть уравнение поверхности уровня.

 

Свойства поверхности уровня

 

1. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.

Действительно, допустим, что поверхность давления р₁ пересекается с поверхностью давления р₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление должно быть одновременно равным и р₁ и р₂, что невозможно, так как р₁ ¹ р₂. Следовательно, пересечение этих поверхностей невозможно.

2. Внешние массовые (объёмные) силы направлены нормально к поверхности уровня.

Доказать это положение можно следующим образом. Работа силы dF на элементарном пути dl равна: dА = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz). Но для поверхности уровня трёхчлен в скобках равен нулю, поэтому работа силы dF на пути dl вдоль поверхности уровня равна нулю (dА = 0).

С другой стороны, согласно рис. 8 работа силы dF равна dА = dF × cosQ × dl. Поскольку dА = 0, а dF ¹ 0 и dl = 0, то cosQ должен быть равен нулю, то есть угол Q = .

 

Рисунок 8

 

Рассмотрим равновесие капельной и газообразной жидкости в поле земного тяготения в пределах небольшой ограниченной области. Ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально вниз. Расположим координатную ось 0z вертикально вверх. При этом ускорение свободного падения g = 9,81 м/с² будет направлено параллельно оси 0z.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z будут равны соответственно:

 

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = – g,

 

где g_x, g_y и g_z – проекции ускорения g по координатным осям.

Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение поверхности уровня (5.1) X × dx + Y × dy + Z × dz = 0 получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

 

– g × dz = 0 или dz = 0. (5.2)

 

Интегрируя это уравнение, находим

 

– g × z = const

или

z = const = С. (5.3)

 

Так как С = const – произвольная постоянная, то это уравнение (5.3) будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей, параллельным осям 0x и 0y,

Итак, ели на жидкость действует только сила тяжести, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом, давление остаётся неизменным (рис. 9). При равновесии газа гидростатическое давление в точке р изменяется только с высотой расположения этой точки р = f(z).

 

 

Рисунок 9 Рисунок 10

 

Если закрытый резервуар заполнен капельной жидкостью, то во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково р₀ (рис. 10). Свободная поверхность воды в открытом резервуаре испытывает одно и то же атмосферное давление р_бар. Свободная поверхность в этих случаях является поверхностью уровня и, следовательно, горизонтальной плоскостью.

Следствие из закона Паскаля: на данном горизонтальном уровне внутри покоящейся жидкости давление во всех точках одинаково.

 

Тема 6 Распределение гидростатического давления

(Интегрирование уравнения Эйлера)

 

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (4.6)

 

dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz).

 

В случае равновесия несжимаемой жидкости в поле земного тяготения проекции ускорения массовой силы (силы тяжести) X, Y и Z на координатные оси 0x, 0y и 0z (ось 0z направлена вертикально вверх) равны соответственно:

 

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = – g,

 

где g_x, g_y и g_z – проекции ускорения g по координатным осям.

Тогда из основного дифференциального уравнения гидростатики (4.6) имеем:

 

dp = – r × g × dz

или

+ dz = 0. (6.1)

 

Интегрируя (6.1) при r = const, имеем

 

+ z = С, (6.2)

 

где С – постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования С рассмотрим резервуар, заполненный жидкостью (рис. 12).

 

 

 

Рисунок 12

 

Для точки m, лежащей на свободной поверхности жидкости р = р_св и z = z₀. Подставляя эти значения в (6.2) находим, что

 

С = + z₀.

Тогда

+ z = + z₀

или

р = р_св + r × g × (z₀ – z).

 

Обозначим (z₀ – z) = h,

где h – глубина погружения рассматриваемой точки под уровень свободной поверхности жидкости.

Окончательно основное уравнение гидростатики (в интегральной форме) имеет вид:

 

р = р_св + r × g × h, (6.3)

 

где р – полное (или абсолютное) давление в рассматриваемой точке;

р_св – давление на свободную поверхность жидкости (внешнее давление). Часто обозначается р₀;

r ´ g ´ h – относительное (или весовое) давление. Эта величина равна весу столба жидкости при единичной площади и высоте h.

Общий гидростатический закон может быть сформулирован следующим образом: давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки с площадью основания, равной единице.

Если абсолютное давление в рассматриваемой точке р больше атмосферного р_бар, то разность (р – р_бар) представляет собой превышение полного давления над атмосферным и называется манометрическим или избыточным давлением в данной точке:

 

р_изб = р_ман = (р – р_бар). (6.5)

 

р_изб = р_ман = р_св + r × g × h – р_бар.

 

Если давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному (р_св = р_бар), то

 

р_изб = р_ман = r × g × h.

 

В этом случае избыточное и весовое давление совпадают.

Если абсолютное давление в точке меньше атмосферного, то недостача абсолютного давления до атмосферного называется вакуумом или разрежением:

 

р_вак = (р_бар – р). (6.6)

 

Тема 7 Приборы для измерения давления

 

Приборы для измерения давления весьма разнообразны. Они классифицируются по различным признакам.

По характеру измеряемой величины приборы разделяют на такие группы:

1. Приборы для измерения атмосферного давления - барометры.

2. Приборы для измерения разности абсолютного и атмосферного

давлений, т.е. избыточного и вакуумметрического давлений:

w манометры – приборы, измеряющие избыточное давление ;

w вакуумметры – приборы, измеряющие вакуум ;

w мановакуумметры – приборы, измеряющие и избыточное давление и вакуум.

4. Приборы для измерения абсолютного давления р - манометры абсолютного давления. Манометры абсолютного давления обычно применяют для измерения малых абсолютных давлений.

4. Приборы для измерения разности давлений – дифференциальные манометры.

5. Приборы для измерения малого избыточного давления и вакуума – микроманометры.

По принципу действия различают приборы:

· жидкостные;

· пружинные;

· поршневые;

· электрические;

· комбинированные и др.

К жидкостным относятся приборы, основанные на использовании гидростатического закона распределения давления. Принцип действия заключается в том, что измеряемое давление уравновешивается давлением, создаваемым весом столба рабочей жидкости. Высота столба рабочей жидкости служит мерой давления.

Действие пружинных приборов основано на применении закона Гука. Сила давления деформирует упругий элемент прибора. Деформация упругого элемента пропорциональна давлению и служит его мерой. Упругий элемент прибора – пружина может представлять собой мембраны (плоские, выпуклые, гофрированные), сильфоны (тонкостенные трубки с поперечной гофрировкой), трубчатые пружины овального сечения (пружины Бурдона).

В поршневых приборах сила измеряемого давления жидкости, приложенная к поршню прибора, уравновешивается внешней силой, величина которой служит мерой давления.

Действие электрических приборов основано на использовании пропорциональности между изменением некоторых электрических свойств материалов и изменением давления. Например, омическое сопротивление некоторых сплавов пропорционально давлению окружающей среды. Это свойство используется для измерения высоких давлений. При измерении быстропеременных давлений используется свойство проводников изменять электрическое сопротивление при деформации. Электрический проволочный датчик наклеивают на упругий элемент, деформирующийся под действием измеряемого давления.

К комбинированным относятся приборы, принцип действия которых носит смешанный характер (например, электромеханические приборы).

Основными характеристиками приборов, измеряющих давление, являются:

· класс точности;

· диапазон измеряемых давлений;

· чувствительность;

· линейность – линейная зависимость между измеряемой величиной и показанием прибора;

· быстродействие.

 

Жидкостные приборы

 

Основными преимуществами жидкостных приборов являются:

· простота устройства;

· стабильность показаний;

· высокая точность измерений.

Основными недостатками жидкостных приборов являются:

§ узость диапазона измеряемых давлений (от 10 до 10⁵ Па);

§ хрупкость стеклянных трубок;

§ необходимость пользоваться для увеличения диапазона измеряемых давлений ртутью и другими жидкостями, пары которых ядовиты.

С целью уменьшения ошибки из-за капиллярности в приборах используют стеклянные трубки диаметром 10…15 мм для воды и 6…9 мм для ртути.

Ртутный барометр (рис. 13). Основная часть барометра – вертикальная толстостенная стеклянная трубка со шкалой и с запаянным верхним концом, из которой полностью удален воздух. Нижний конец трубки опущен в чашу с ртутью, в которой на свободную поверхность рабочей жидкости действует атмосферное давление.

Следствие из закона Паскаля для горизонтального уровня , совмещенного с поверхностью ртути в чаше, позволяет приравнять атмосферное давление и давление столба ртути в трубке, то есть

 

р_бар = р_рт = r_р × g × h,

 

 

Рисунок 13 – Принципиальная схема жидкостного барометра

 

Пьезометр (от греч. piezo - давлю). Обычно применяется для измерения избыточного (манометрического) давления в рассматриваемой точке. Представляет собой вертикальную стеклянную трубку со шкалой. Верхний конец трубки открыт в атмосферу. Нижний конец пьезометра соединяется с местом измерения давления (рис. 15). Абсолютное давление в точке С в соответствии с основным гидростатическим законом определяется выражением

 

р_с = р_бар + r × g × h_c,

 

где - плотность жидкости;

- глубина погружения точки, в которой измеряется давление, относительно уровня жидкости в пьезометрической трубке.

 

h_c = = .

 

 

 

Рисунок 15 – Пьезометр Рисунок 16 - Вакуумметр

 

где – плотность рабочей жидкости (ртути), ;

– ускорение свободного падения, ;

– высота столба ртути в трубке, м.

Высота h является мерой атмосферного давления .

Вакуумметр жидкостной (обратный пьезометр). Представляет собой вертикальную стеклянную трубку со шкалой. Один конец трубки соединяется с местом измерения давления. Второй конец трубки опущен в чашу с рабочей жидкостью (рис. 16). Условие равенства давлений, записанное для поверхности , совмещенной со свободной поверхностью рабочей жидкости в чаше, в случае вакуумметра имеет вид

 

p_A + r_р × g × h_вак = р_бар.

 

Из этой формулы получаем выражение, определяющее численно вакуумметрическую высоту

 

h_вак = = .

 

U – образный манометр. Представляет собой U – образную стеклянную трубку со шкалой, заполненную рабочей жидкостью до нулевой отметки. Одна ветвь манометра открыта в атмосферу, другая соединена с местом, где измеряется давление. На рис. (17 а и б) показаны U – образные манометры для изменения избыточного и вакуумметрического давлений.

 

 

 

Рисунок 17 – U-образный манометр для измерения избыточного (а) и вакуумметрического (б) давлений

 

При измерении избыточного давления для горизонтального уровня справедливо выражение

 

р_А = р_бар + r_р × g × Dh,

 

где - разность уровней рабочей жидкости в ветвях манометра.

Очевидно, что измеренное определяется избыточное давление

 

Dh = = .

 

При измерении вакуумметрического давления для горизонтального уровня n-n справедливо выражение

 

p_А + r_р × g × Dh = p_бар.

 

Измеренная разность уровней рабочей жидкости в ветвях манометра является мерой вакуумметрического давления

 

Dh = = .

 

Дифференциальный манометр применяется для измерения разности давлений. Представляет собой U – образный манометр, обе ветви которого присоединяются к местам измерения давления (рис. 18). Разность давлений в рассматриваемых точках определяется разностью уровней рабочей жидкости в ветвях манометра.

Для горизонтального уровня справедливо выражение

 

p_А + r × g × Dh = p_B + r_р × g × Dh

или

p_A – p_B = (r_p - r) × g × Dh.

 

Если в рассматриваемых объемах, в которых измеряется разность давлений, находится газ, то изменением весового давления в газе, заполняющем часть измерительной трубки, обычно пренебрегают. Это, как правило, допустимо, так как плотность газов на три порядка меньше плотности жидкостей. Тогда условие равенства давлений горизонтального уровня принимает вид

 

p_А = p_B + r_р × g × Dh.

 

Измеренная разность уровней рабочей жидкости в ветвях манометра является мерой разности давлений в рассматриваемых точках

 

Dh = .

 

Микроманометр применяется для измерения давления и разности давлений с достаточно высокой точностью. Представляет собой чашу, заполненную рабочей жидкостью, с наклонной трубкой и наклонной шкалой (рис. 19). При измерении малых давлений в газах для увеличения точности в качестве рабочих жидкостей в приборах применяют легкие жидкости, например, спирт. Показанием прибора является величина l смещения жидкости в наклонной трубке.

 

Рисунок 18 – Дифференциальный Рисунок 19 - Микроманометр

манометр

 

Для уровня справедливо

 

p = p_бар + r_р × g × h.

 

Поскольку , избыточное давление на поверхности жидкости в чаше равно

 

р_изб = р – р_бар = r_р × g × l × sina,

 

где - расстояние, на которое перемещается рабочая жидкость по шкале прибора при замере;

- угол наклона трубки к горизонту.

Точность прибора возрастает с уменьшением угла наклона трубки, так как при этом увеличивается показание прибора, соответствующее данному давлению р. Приборы с наклонной трубкой применяют для измерений давлений, равных 240…1470 Па.

 

Пружинные приборы

 

Основными преимуществами пружинных приборов являются:

· портативность;

· универсальность;

· простота устройства;

· простота применения;

· широкий диапазон измеряемых давлений.

Основным недостатком пружинных приборов является нестабильность их показаний, вызываемая рядом причин: постепенным изменением упругих свойств деформируемого элемента, возможным возникновением остаточной деформации в нем, износом передаточного механизма.

Трубчатые пружинные приборы измеряют давление в пределах от до 1×Па; погрешность измерений 1…3%. Мембранные приборы применяют для измерения вакуума и избыточного давления, не превышающего 2,5 МПа.

Манометр, вакуумметр и мановакуумметр с одновитковой трубчатой пружиной (рис. 20). Основной деталью прибора является согнутая в дуге окружности полая трубка, имеющая в сечении овальную форму (пружина Бурдона). Один конец трубки запаян. Измеряемое давление р передается внутрь трубки через второй открытый ее конец. Под действием разности давлений в корпусе прибора и внутри полой трубки р пружина деформируется.

Если р > р_бар, то избыточное давление разгибает трубку 1. если р < р_бар, то трубка сгибается, так как в ней устанавливается вакуумметрическое давление (разрежение). Запаянный конец трубки, перемещаясь, приводит в действие передаточный механизм 2. Стрелка прибора перемещается относительно шкалы 3, проградуированной в единицах давления.

Приборы с мембранной пружиной. Упругим элементом мембранного прибора является мембрана 2 (рис. 21), представляющая собой гофрированную металлическую пластинку, закрепленную между фланцами нижней и верхней частей корпуса прибора. На мембрану через канал штуцера 1 передается давление p, под действием которого мембрана прогибается. Через передаточный механизм 3 прогиб передается на стрелку прибора, скользящую по шкале

 

 

1 – трубчатая пружина манометра;

2 – передаточный механизм; 1 – штуцер; 2 – мембрана;

3 – шкала; 4 – штуцер 3 – передаточный механизм

 

Рисунок 20 – Пружинный манометр Рисунок 21 – Мембранный манометр

 

Тема 8 Сила гидростатического давления на плоские стенки

 

Равнодействующая сил давления на плоскую стенку w (рис. 22) определяется по формуле:

 

F_пл = p_св × w + r × g × h_с × w, (8.1)

 

где p_св × w = F_вн- сила внешнего давления, передаваемая на стенку по закону Паскаля, Н. Здесь p_св – внешнее давление (на свободную поверхность жидкости);

r × g × h_с × w = F - сила давления самой жидкости на стенку, Н;

w - площадь смоченной поверхности плоской стенки, м²:

h_с - глубина погружения центра тяжести смоченной площади С под уровень свободной поверхности, м;

h_с × w - объём цилиндра площадью основания w и высотой h_с.

Следовательно, сила, с которой жидкость давит на плоскую стенку, равна весу жидкости в объёме цилиндра с основанием, равным площади данной стенки, и высотой, равной глубине погружения центра тяжести этой площади под уровень свободной поверхности:

 

F = r × g × h_с × w. (8.2)

 

Так как r × g × h_с = р_с, где р_с – гидростатическое давление в центре тяжести площадки w, можно записать:

 

F = р_с × w.

 

 

 

Рисунок 22 – К определению силы давления на плоскую стенку

 

Точка приложения равнодействующей сил давления на наклонную стенку лежит ниже центра тяжести – в центре давления D.

Глубина погружения центра давления под уровень свободной h_D поверхности жидкости равна:

 

h_D = l_D × sinQ, (8.3)

 

где l_D – расстояние от свободной поверхности до центра давления D, считая по наклону стенки;

Q – угол наклона стенки к горизонту.

Расстояние от свободной поверхности до центра давления D, считая по наклону стенки l_D, определяется по формуле:

 

l_D = l_С + , (8.4)

 

где l_С – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести С, считая по наклону стенки;

I_C – момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей через центр тяжести С параллельно линии уреза жидкости.

Совпадать глубина погружения центра тяжести смоченной поверхности С и центра давления D может только в случае, если площадка горизонтальная или она лежит на бесконечно большой глубине.

 

Тема 9 Сила давления на криволинейную поверхность

 

Внутри жидкости расположена криволинейная поверхность w. Координатные оси 0x и 0y расположены в плоскости свободной поверхности жидкости. Ось 0z направлена вертикально вверх.

Равнодействующая сил давления на криволинейную поверхность F_кр равна:

 

F_кр = F_св + F.

 

где F_св – сила внешнего давления, передаваемая на криволинейную поверхность по закону Паскаля

F – сила давления самой жидкости на криволинейную поверхность.

 

F_св = p_св × w,

 

где p_св – внешнее давление (на свободную поверхность жидкости);

w – площадь смоченной криволинейной поверхности.

Сила давления жидкости на криволинейную поверхность равна (рис. 24):

 

F = , (9.1)

 

где – горизонтальные проекции (проекции силы давления жидкости F на горизонтальные оси 0x и 0y);

– вертикальная проекция (проекция силы давления жидкости F на вертикальную ось 0z).

 

Рисунок 24 – Сила давления жидкости на криволинейную поверхность

 

Направление линии действия силы F определяется по направляющим косинусам:

 

cosa = ; cosb = ; cosg = , (9.2)

 

где a, b, g – углы наклона силы F к координатным осям.

Горизонтальные и вертикальную составляющие силы F определяют по формулам:

 

= r × g × h_сx × w_x; (9.3)

 

= r × g × h_сy × w_y; (9.4)

 

= r × g × V. (9.5)

 

где w_x – проекция криволинейной поверхности w на плоскость, перпендикулярную оси 0x;

w_y – проекция криволинейной поверхности w на плоскость, перпендикулярную оси 0y;

h_сx – глубина погружения центра тяжести проекции w_x под уровень свободной поверхности;

h_сy – глубина погружения центра тяжести проекции w_y под уровень свободной поверхности;

V – объём тела давления.

Горизонтальные составляющие силы давления на криволинейную поверхность и равны силе давления на вертикальные проекции этой поверхности w_x и w_y.

Вертикальная проекция равна весу жидкости в объёме тела давления.

Тело давления – объём вертикального столба, опирающегося на заданную криволинейную поверхность w и ограниченного плоскостью свободной поверхности или её продолжением.

Тело давления может быть действительным (положительным), если оно заполнено жидкостью. В этом случае тело давления (фигура) и жидкость расположены по одну сторону от криволинейной поверхности. При действительном теле давления вертикальная составляющая направлена вниз (рис. 25, а). Фиктивное (отрицательное) тело давления не заполнено жидкостью. Тело давления (фигура) и жидкость расположены по разные стороны от криволинейной поверхности. Вертикальная составляющая направлена вверх (рис. 25, б).

 

 

 

Рисунок 25 – Тело давления

 

Горизонтальные составляющие и проходят через центр давления проекций w_x и w_y , а вертикальная составляющая проходит через центр тяжести тела давления.

Сила давления жидкости на цилиндрическую поверхность (боковая поверхность цилиндра) определяется по формуле:

 

F =

 

= 0, так как на плоскость, нормальную оси 0y, цилиндрическая поверхность проектируется в виде линии, то есть w_y = 0.

 

Тема 12 Равновесие газов

 

Газы относятся к сжимаемым жидкостям и уравнения равновесия должны учитывать их сжимаемость. Поэтому дифференциальные уравнения равновесия для газов должны быть дополнены характеристическими уравнениями, связывающими плотность r, давление p и температуру T.

Итак, для газов справедливы:

· дифференциальное уравнение равновесия (4.6)

 

dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz);

 

· уравнение поверхности уровня (5.1)

 

X × dx + Y × dy + Z × dz = 0;

 

· характеристическое уравнение r = f(p, T).

Связь между плотностью, давлением и температурой устанавливает уравнение состояния идеального газа:

 

r = или = R × T или pV_уд = R × T,

 

где р - абсолютное давление, Па;

Т - абсолютная температура, К. Т = (273 + );

V_уд – удельный объём;

R - удельная газовая постоянная, различная для разных газов, но не зависящая от температуры и давления, Дж/(кг К);

r - плотность, кг/м³.

Реальные газы в условиях, далёких от сжижения, незначительно отличаются от поведения идеальных газов и для них в довольно широких пределах можно пользоваться уравнениями состояния идеальных газов.

В случае изотермного процесса изменение давления и объёма газа происходит при поддержании одной и той же температуры (Т = const). Уравнение состояния определяется законом Бойля-Мариотта:

 

= const или pV_уд = const. (12.1)

 

Адиабатный процесс представляет собой случай изменения давления в условиях отсутствия теплообмена. Уравнение адиабаты имеет вид:

 

= = … = = const, (12.2)

 

где k – показатель адиабаты.

Общим случаем является политропный процесс. Уравнение политропы записывается в виде:

 

= = … = = const, (12.3)

 

где n – показатель политропы.

В связи с указанными вариантами характеристического уравнения рассмотрим закон распределения давления в следующих трёх предположениях:

а) плотность постоянна (r= const) при небольшой высоте столба газа;

б) плотность изменяется, подчиняясь изотермному закону (Т = const);

в) плотность изменяется по уравнению политропы (12.3).

Расположим координатную систему так, чтобы оси 0x и 0y были горизонтальны, а ось 0z была направлена вертикально вверх. Тогда для жидкости в поле земного тяготения проекции ускорения массовой силы (силы тяжести) на координатные оси равны:

 

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = – g,

 

где g_x, g_y и g_z – проекции ускорения g по координатным осям.

Тогда из основного дифференциального уравнения гидростатики (4.6) имеем:

 

dp = – r × g × dz (12.4)

 

12.1 Распределение давления при небольшой высоте столба газа (r = const)

 

Запишем уравнение (12.4) в виде + g × dz = 0 и проинтегрируем с учётом r = const. Подучим:

 

+ g × z = С, (12.5)

 

Постоянная интегрирования С определяется из условий на границе. Если на некоторой заданной высоте z₀ известно давление р₀, то подставляя эти значения в уравнение (12.5) найдём

 

С = + g × z₀.

Следовательно,

+ g × z = + g × z₀

или

= + g × (z₀ - z). (12.6)

 

Из этого уравнения видно, что давление убывает с увеличением высоты расположения данной точки.

Таким образом, при небольшой высоте столба газа и постоянной плотности r распределение давления аналогично таковому для капельной жидкости (уравнение 6.3).