Понятие о вихревом и потенциальном движении

 

При движении жидкости происходит изменение положения частиц в пространстве и их деформация, то есть изменение формы и объёма.

Рассмотрим жидкую частицу, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с бесконечно малыми рёбрами dx, dy, dz, параллельными координатным осям (рис. 38).

 

 

 

Рисунок 38 – Жидкая частица

 

Вершину А с координатами x, y, z выберем в качестве полюса. Скорость полюса в момент времени t равна u. Анализируя перемещение и деформацию выбранного объёма жидкости в пространстве, для удобства графического изображения будем рассматривать это явление в плоскости x0y, то есть на примере грани ABCD.

Частица характеризуется:

· величиной диагоналей;

· ориентацией диагоналей в пространстве;

· углами между сторонами.

Любое перемещение частицы жидкости за бесконечно малый промежуток времени можно представить в виде суммы поступательного, вращательного и деформационного движений.

При поступательном движении частицы жидкости движутся по любой траектории (рис. 39, а). При этом не изменяются ни величины диагоналей, ни их ориентация в пространстве, ни углы между сторонами. Поступательное движение характеризуется составляющими скорости полюса u:

 

ux; uy; uz. (17.1)

 

При деформационном движении жидкой частицы изменяются углы между сторонами, величины диагоналей. Деформацию параллелепипеда можно представить как сумму объёмной (или линейной) и угловых деформаций (рис. 39, в и г).

 

 

Рисунок 39 – Поступательное движение (а), вращение (б), линейная (в) и угловая (г) деформации жидкой частицы

 

Линейная деформация (деформация вида растяжение- сжатие) характеризуется скоростями линейных деформаций:

 

; ; . (17.2)

 

Угловую деформацию (или перекашивание) можно оценить изменением углов между гранями. Скорость изменения углов между гранями во времени при деформации частицы называется интенсивностью перекашивания. Скорость изменения угла перекашивания равна скорости деформации во времени. Таким образом, угловая деформация (перекашивание) характеризуется скоростями угловых деформаций:

 

Qx = × ;

 

Qy = × ; (17.3)

 

Qz = × .

 

Индекс при скорости угловой деформации указывает, что угловая деформация происходит в плоскости, нормальной к данной оси координат.

При вращательном движении (рис. 39, б) не изменяются ни величина диагоналей, ни углы между сторонами, но изменяется ориентация диагоналей в пространстве. Вращательное движение жидкой частицы вокруг полюса характеризуется угловой скоростью w:

 

w = . (17.4)

 

Угловая скорость жидкой частицы относительно мгновенной оси, проходящей через полюс, характеризуется компонентами (составляющими) угловой скорости:

 

wx = × ;

 

wy = × ; (17.5)

 

wz = × .

 

Такое представление элементарного объёма жидкости составляет содержание теоремы Гельмгольца:

скорость движения любой жидкой частицы слагается из скорости квазитвёрдого движения частицы (поступательного и вращательного движения) и скорости деформации.

Удвоенные компоненты угловой скорости wx, wy, wz называются компонентами вектора вихря W:

 

W = 2 × w;

 

Wx = 2 × wx = ;

 

Wy = 2 × wy = ; (17.6)

 

Wz = 2 × wz = .

 

Совокупность этих векторов составляет векторное поле.

По характеру движения жидких частиц различают вихревое и потенциальное (безвихревое) движение жидкости.

Движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы, называется вихревым движением.

Движение, при котором вращение частиц вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы, отсутствует, называется безвихревым (потенциальным) движением. При безвихревом движении w = 0, соответственно

 

wx = wy = wz = 0;

 

Wx = Wy = Wz = 0.

 

Безвихревое движение характеризуется системой:

 

= ;

 

= ; (17.7)

 

=

 

Тема 18 Уравнение неразрывности течения

 

Уравнение неразрывности течения (сплошности потока) в интегральной форме в случае одномерного приближения принимает вид уравнения постоянства расхода:

· для слобосжимаемой (или трудносжимаемой) жидкости (r = const) это уравнение постоянства объёмного расхода Q, м3/с:

 

Q = v × w, (18.1)

 

где v – средняя скорость в живом (поперечном) сечении потока, м/с;

w – площадь живого (поперечного) сечения потока, м2.

Объёмный расход потока вдоль по течению неизменен.

· для сжимаемой жидкости (r ¹ const) это уравнение постоянства массового расхода Qm, кг/с:

 

Qm = r × v × w, (18.2)

 

где r – плотность жидкости, кг/м3.

Массовый расход потока вдоль по течению неизменен.

 

Тема 19 Уравнение Бернулли (энергии) для элементарной струйки невязкой несжимаемой жидкости

 

В элементарной струйке сечениями 1-1 и 2-2 выделим некоторую массу жидкости и составим уравнение кинетической энергии (Ек) для этой массы (рис. 41).

За время dt выделенная масса жидкости переместится и займёт положение 1¢-1¢, 2¢-2¢. Рассмотрим между сечениями три объёма: (a), (b) и (c). По условиям сплошности масса объёма (a) равна массе объёма (b).

 

 

Рисунок 41

 

Приращение кинетической энергии при перемещении массы жидкости из положения 1-1, 2-2 в положение 1¢-1¢, 2¢-2¢:

 

= - .

 

При установившемся движении кинетическая энергия массы жидкости в объёме (с) в момент времени t равна кинетической энергии массы жидкости в объёме (с) в момент времени t+Dt:

 

=

 

Тогда для всей выделенной массы

 

= - . (19.1)

 

Кинетическая энергия массы жидкости в объёме (b) равна:

 

= ;

 

dm = r × dw2 × dl2 = r × dw2 × u2 × dt;

 

= r × dw2 × u2 × dt × . (19.2)

 

Аналогично, кинетическая энергия массы жидкости в объёме (а) равна:

 

= r × dw1 × u1 × dt × . (19.3)

 

После подстановки (19.2) и (19.3) в выражение (19.1) получаем

 

= r × dw2 × u2 × dt × - r × dw1 × u1 × dt × . (19.4)

 

Для невязкой жидкости к выделенному объёму приложены силы тяжести, давления жидкости на боковую поверхность, силы давления на торцевые площадки w1 и w2.

Поскольку жидкость несжимаема, внутренняя энергия рассматриваемого объёма не меняется при его перемещении и в уравнение кинетической энергии входит только работа внешних сил.

При перемещении массы из положения 1-1, 2-2 в положение 1¢-1¢, 2¢-2¢ вес жидкости в объёме (с) работу не совершает и работу сил тяжести можно вычислить как работу перемещения из объёма (а) в (b).

Сила тяжести равна:

 

G = g × dm = g × r × dV = r × g × dw1 × u1 × dt.

 

Работа сил тяжести

 

G × (z1z2) = r × g × dw1 × u1 × dt × (z1z2). (19.5)

 

Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы нормальны к этой поверхности.

Работа сил давления на торцы равна разности:

 

р1 × dw1 × u1 × dtр2 × dw2 × u2 × dt. (19.6)

 

Таким образом, приращение кинетической энергии (19.4) за счёт работы сил тяжести (19.5) и внешнего давления (19.6) имеет вид

 

r × dw2 × u2 × × dt - r × dw1 × u1 × × dt =

= r × g × dw1 × u1 × (z1z2) × dt + р1 × dw1 × u1 × dtр2 × dw2 × u2 × dt.

 

Разделим на dt и сгруппируем

 

r × g × dw1 × u1 × z1 + р1 × dw1 × u1 + r × dw1 × u1 × =

= r × g × dw1 × u1 × z2 + р2 × dw2 × u2 + r × dw2 × u2 × .

 

Заменим u1 × dw1 = dQ, u2 × dw2 = dQ и разделим обе части последнего уравнения на r ´ g ´ dQ.

Имеем

 

z1 + + = z2 + + . (19.7)

 

Это уравнение Бернулли в форме напоров для элементарной струйки между сечениями 1-1 и 2-2.

Поскольку сечения взяты произвольно, то в общем виде уравнение имеет вид:

 

z + + = const. (19.8)

 

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли в форме напоров имеет размерность длины (м) и представляет собой энергию, отнесённую к единице веса (1 Н), то есть удельнуюэнергию. Здесь zудельнаяпотенциальнаяэнергияположения, удельнаяпотенциальнаяэнергиядавления, удельнаякинетическаяэнергия.

Уравнение Бернулли в форме давлений имеет вид:

 

r × g × z + р + r × = const. (19.9)

 

Здесь каждый член имеет размерность давления (Па) и представляет собой энергию, отнесённую к единице объёма. Здесь r × g × zгравитационноедавление, рстатическоедавление, r × динамическоедавление.

Уравнение Бернулли имеет третью форму представления – основное уравнение Бернулли:

 

g × z + + = const. (19.10)

 

Каждое слагаемое в уравнении (19.10) характеризует энергию, отнесённую к единице массы (Дж/кг). При этом размерность каждого члена уравнения (м22).

 

Тема 20 энергетический смысл и Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

 

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли в форме напоров (19.8) имеет размерность длины (м)

 

z + + = const.

 

Если уравнение (19.8) умножить на 1 Н, то уравнение не изменится, но размерность каждого слагаемого будет выражена в Н´м (Дж). Следовательно, каждое слагаемое в уравнении представляет собой энергию, отнесённую к единице веса (1 Н), то есть удельнуюэнергию. Тогда

z – удельная потенциальная энергия положения;

– удельная потенциальная энергия давления;

– удельная кинетическая энергия.

Таким образом, 1 Н жидкости, находящийся на высоте z относительно плоскости x0y может совершать работу, равную z, Дж. Тот же 1 Н жидкости, находящийся на высоте z, обладает ещё энергией давления , Дж.

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли можно сформулировать так:

при установившемся движении невязкой несжимаемой жидкости вдоль трубки тока сумма удельных энергий – потенциальной (положения и давления) и кинетической – есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли показывает, что полная удельная энергия остаётся неизменной по пути данной элементарной струйки невязкой жидкости. Таким образом, уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии при движении идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли в форме напоров удобно тем, что каждый член может быть представлен некоторой высотой. Так

z – геометрическая высота, то есть высота положения рассматриваемой точки пространства с жидкостью (центра тяжести сечения) над горизонтальной плоскостью сравнения x0y;

– высота давления. Если в уравнении р – избыточное давление, то величина

= называется пьезометрической высотой;

– скоростная (или динамическая) высота.

Сумма характеризует пьезометрический напор.

В системе координат x0y напишем уравнение Бернулли для трёх произвольных сечений элементарной струйки (рис. 42):

 

z1 + + = z2 + + = z3 + + = Н = const.

 

где Н – полная высота в данном сечении струйки.

Для каждого поперечного сечения струйки величина Н может быть представлена совокупностью отрезков z, и .

Соединив между собой концы отрезков Н, получим линию, расположенную в горизонтальной плоскости. Эту плоскость и линию на ней называют плоскостью и линией полного напора.

Соединив концы отрезков , получим пьезометрическую линию.

Пьезометрическая линия отделяет область изменения потенциальной энергии от области изменения кинетической энергии.

 

Рисунок 42 – Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

 

Рис. 42 даёт геометрическое толкование уравнения Бернулли. Можно видеть, как по длине струйки меняются слагаемые этого уравнения. Если сечение расширяется и, следовательно, скорость уменьшается, то уменьшается скоростная высота, но возрастает сумма .

Таким образом, геометрический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать так:

при установившемся движении невязкой несжимаемой жидкости вдоль трубки тока сумма высот – геометрической, пьезометрической и скоростной – есть величина постоянная.

 

Тема 21 Уравнение Бернулли для потока конечных размеров. Гидравлический и пьезометрический уклоны

 

Поток рассматривается как совокупность элементарных струек, движущихся с различными скоростями. В таком потоке скорости в разных точках поперечного сечения различны, а скоростной напор, определяемый средней скоростью v, дополнен коэффициентом кинетической энергии (или коэффициентом Кориолиса) a. Величина этого коэффициента отражает степень неравномерности распределения скоростей по сечению потока. Коэффициент равен отношению истинной кинетической энергии массы жидкости, протекающей через живое сечение, к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что во всех точках живого сечения местные скорости равны средней скорости.

Обычно при прямолинейном турбулентном движении в трубах a = 1,03…1,1. Обычно при расчётах при турбулентном течении в трубах принимают коэффициент Кориолиса a равным 1,1 или 1. При прямолинейном ламинарном движении в трубах a = 2.

Уравнение Бернулли для установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости в форме давлений имеет вид:

 

r × g × z + р + r × a ×= const, (21.1, а)

 

где r × g × z – гравитационное давление;

р – статическое давление;

r × – динамическое давление.

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 уравнение имеет вид:

 

r × g × z1 + р1 + r × a1 ×= r × g × z2 + р2 + r × a2 ×= const. (21.1, б)

 

Уравнение Бернулли для установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости в форме напоров имеет вид:

 

z + + a× = Н = const, (21.2, а)

 

где z – удельная потенциальная энергия положения;

– удельная потенциальная энергия давления;

– удельная кинетическая энергия;

Н – полная удельная энергия потока.

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 уравнение имеет вид:

 

z1 + + a1 ×= z2 + + a2 ×= Н = const. (21.2, б)

 

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли можно сформулировать так:

при установившемся движении невязкой несжимаемой жидкости вдоль потока сумма удельных энергий – потенциальной (положения и давления) и кинетической – есть величина постоянная.

Все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность и их можно интерпретировать как высоты:

z – геометрическая высота, то есть высота положения рассматриваемой точки пространства с жидкостью (центра тяжести сечения) над горизонтальной плоскостью сравнения x0y;

– высота давления. Если в уравнении р – избыточное давление, то величина

= называется пьезометрической высотой;

a × – скоростная (или динамическая) высота.

Н – полная высота в данном сечении потока.

Таким образом, геометрический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать так:

при установившемся движении невязкой несжимаемой жидкости вдоль потока сумма высот – положения, давления (или пьезометрической) и скоростной – есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости между двумя сечениями, в которых движение является плавно изменяющимся, имеет вид:

· в форме давлений

 

r × g × z1 + р1 + r × a1 ×= r × g × z2 + р2 + r × a2× + Dр, (21.3)

 

где Dр – потери давления на участке между рассматриваемыми сечениями;

· в форме напоров

 

z1 + + a1×= z2 + + a2 ×+ Dhпот, (21.4)

 

где Dhпот – потери напора на участке между рассматриваемыми сечениями.

Для потока жидкости сумма удельной потенциальной и удельной кинетической энергии

 

Н = (21.5)

 

называется гидродинамическим (или полным) напором.

При движении вязкой жидкости линия удельной энергии (напорная линия) не горизонтальна, как при движении невязкой жидкости, а представляет собой наклонную линию, так как удельная энергия потока (гидродинамический напор) Е = Н = при движении вязкой жидкости уменьшается в направлении движения.

Энергетический смысл уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости:

удельная энергия потока в предыдущем сечении всегда больше чем в последующем на величину потерь удельной энергии.

Геометрический смысл уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости:

полная высота в предыдущем сечении всегда больше чем в последующем на высоту потерь.

Гидравлическим уклоном i называется отношение потерь напора Dhтр к длине участка l, на котором эти потери происходят:

 

i = = > 0. (21.6, а)

 

В общем виде

 

i = - = - = > 0. (21.6, б)

 

Так как приращение dH всегда является отрицательным (напор уменьшается вдоль движения), то гидравлический уклон всегда положителен.

Удельная потенциальная энергия (пьезометрический напор) в направлении движения может, и уменьшатся, и увеличиваться, в зависимости от конкретных условий.

Пьезометрическим уклоном iп называется отнесённое к единице длины изменение пьезометрического напора или изменение отметок пьезометрической линии. В общем случае

 

iп = - . (21.7, а)

 

Для двух сечений имеем

 

iп = . (21.7, б)

 

Пьезометрический уклон может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Пьезометрический уклон считается положительным, если по течению пьезометрическая линия понижается.

 

Тема 22 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

 

Уравнение Бернулли используется во многих случаях расчёта движения жидкости в трубах, каналах и других сооружениях. На основании уравнения Бернулли сконструирован ряд приборов.

 

Трубка Пито-Прандтля

 

Рассмотрим определение местной скорости с помощью трубки Пито (рис. 43).

Эта трубка помещена в потоке жидкости изогнутым концом против течения и работает в комплексе с пьезометром. Пьезометрическаятрубкаизмеряетстатический напор , а трубкаПитоизмеряетполный напор - сумму статического и динамического . Конструктивно объединенные в одном корпусе трубка Пито и пьезометрическая трубка (кольцевое пространство с прорезями) представляет собой трубку Пито-Прандтля. Такой прибор иногда называют гидрометрической (для капельной жидкости) или пневмометрической (для воздуха) трубкой.

 

 

Рисунок 43 – Трубка Пито-Прандтля

 

Проведём плоскость сравнения через центр отверстия в изогнутом конце трубки Пито и напишем уравнение Бернулли для точек 1 и 2. Это уравнение записывается для элементарной струйки, так как трубка Пито в комплекте с пьезометрической трубкой измеряет местную скорость в точке, в которой она установлена:

 

z1+ + = z2 + + .

 

В данном случае z1 = z2, u1 = u, а u2 = 0, так как при обтекании жидкостью трубки в точке 2 происходит уменьшение скорости u до нуля и в соответствии с этим увеличение давления. Тогда

 

+ = .

 

Обозначим разницу показаний в трубках Пито и пьезометрической как Dh:

 

- = Dh.

 

Уравнение Бернулли примет вид

 

Dh = ,

 

то есть трубкаПито-Прандтляизмеряетдинамическийнапор .

Отсюда скорость потока в данной точке равна:

 

u = . (22.1)

 

Если трубка Пито-Прандтля установлена на оси потока, то она измеряет максимальную скорость:

 

umax = . (22.2)

 

Чтобы трубкой Пито-Прандтля можно было непосредственно измерять скорость, к ней подключается дифференциальный манометр (в ряде случаев микроманометр).

Трубка Пито-Прандтля выполняется небольшим диаметром и с обтекаемым носком, но и в этом случае она вносит некоторое возмущение в поток. Поэтому полученное значение скорости по формулам (22.1) или (22.2) умножают на тарировочный коэффициент, определяемый опытным путём. Для заводских трубок тарировочный коэффициент равен 1…1,04.

 

Водомер Вентури

 

Расход в трубопроводе можно измерить с помощью водомера Вентури, представляющего собой вставку меньшего диаметра с плавным входом и выходом (рис.44).

 

 

Рисунок 44 – Водомер Вентури

 

В суженной части диаметром d2 скорость увеличивается, а давление и пьезометрическая высота = h2 уменьшаются по сравнению с давлением и пьезометрической высотой до сужения = h1. Зависимость между объёмным расходом Q и разностью h1 - h2 = Dh можно получить с помощью уравнения Бернулли и уравнения расхода. Расчётные сечения выберем до сужения 1-1 и в суженной части 2-2. Ввиду небольшого расстояния между сечениями и плавного сужения потери напора Dhпот между этими сечениями будут незначительными и в первом приближении ими можно пренебречь. Если труба горизонтальна, то z1 = z2 и уравнение Бернулли примет вид

 

h1 + a1 × = h2 + a2 × .

 

С учетом того, что средняя скорость в сечении v из уравнения неразрывности течения равна отношению расхода Q к площади живого сечения потока w (v = ) и, принимая a1 = a2 = 1, получим:

 

h1 - h2 = .

 

Для круглой трубы w = и тогда расход можно вычислить по формуле:

 

Q = = × = B × ,

 

где В – постоянная величина для каждого водомера.

 

В = = × .

 

Фактический расход Qф будет несколько меньше из-за потерь напора:

 

Qф = m × Q,

 

где m = тарировочный коэффициент (коэффициент расхода), значение которого меньше единицы. Обычно m = 0,95…0,97.

 

Тема 23 Уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости (газа)

 

Для газов, обладающих вязкостью, уравнение Бернулли в дифференциальной форме (для элементарной струйки) имеет вид:

 

g × dz + + + g × dh = 0.

 

Интегрируя это уравнение вдоль элементарной струйки по длине Dl от сечения 0-0 до любого произвольного сечения, получим:

 

g × (zz0) + + g × hпот = С, (23.1)

 

где hпот – потери напора по длине Dl.

Величину можно найти, если плотность r является функцией от давления р. Вид этой функции зависит от характера термодинамического процесса, происходящего в том или другом случае движения газа. Наиболее общим случаем является политропный процесс. Из уравнения политропы = = const находим функцию r = f(p), которая имеет вид r =r0 × .

После подстановки найдём

 

= = × = × =

= × .

 

Но первое слагаемое в скобках с учётом уравнения политропы = равно

 

= = ,

а второе слагаемое

= .

 

Таким образом, искомая величина интеграла

 

= × .

 

Делая подстановку в уравнение (23.1), получим уравнение Бернулли в виде

 

g × (zz0) + × + + g × hпот = С.

 

Разделим величины и запишем уравнение Бернулли при политропном процессе для двух сечений реального газа 0-0 и любого произвольного сечения:

 

g × z0 + × + = g × z + × + + g × hпот. (23.2)

 

Используя зависимость (1.9) = R × T0, а = R × T, можно придать уравнению (23.2) вид

 

g × z0 + ×R×T0 + = g × z + ×R×T + + g × hпот. (23.3)

 

где R – удельная газовая постоянная.

При адиабатном процессе движение газа описывается теми же основными уравнениями, но при этом показатель политропы n заменяется показателем адиабаты k, поэтому при адиабатном процессе уравнение Бернулли будет записано в виде:

 

g × z0 + × + = g × z + × + + g × hпот. (23.4)

или

g × z0 + ×R×T0 + = g × z + ×R×T + + g × hпот. (23.5)

 

Рассмотрим движение газа при изотермном процессе, когда соблюдается условие

 

= R × T = const и r = .

 

В этом случае, учитывая постоянство температуры (T = const),

 

== R × T × = R × T × ln.

 

Тогда для изотермного процесса уравнение Бернулли примет вид

 

g × z0 + R × T0 × ln p0 + = g × z + R × T × ln p + + g × hпот. (23.6)

 

Тема 24 Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости. Число Рейнольдса и его критическое значение

 

Потери энергии при движении жидкости зависят от режима движения жидкости.

Фундаментальные исследования вопроса о режимах движения жидкости были выполнены английским учёным Осборном Рейнольдсом в 1883 – 1885 годах на специальной опытной установке, схема которой показана на рис. 45. В цилиндрическую стеклянную трубку через плавный коноидальный вход жидкость подается из резервуара 1, где она успокаивается с помощью системы решеток. Резервуар (бак) 1 достаточно больших размеров. Высота уровня жидкости в баке поддерживается постоянной. В конце стеклянной трубы 2 установлен кран 3 для регулирования расхода потока. Измерение расхода выполняется с помощью мерного бака 4 и секундомера.

Во входной участок трубы через тонкую трубочку 5 из сосуда 6 подается подкрашенная жидкость с плотностью и скоростью истечения, близкими к этим же характеристикам потока жидкости в трубе. Расход краски регулируется краном 7. Подкрашенная струйка жидкости позволяет визуализировать (сделать видимой) структуру потока в трубе.

 

 

 

1 – резервуар (бак); 2 – стеклянная трубка; 3 – кран для регулирования расхода потока; 4 – мерный бак; - 5 - трубка для подачи подкрашенной жидкости; 6 – сосуд с раствором подкрашенной жидкости; 7 – кран для регулирования подачи подкрашенной жидкости; 8 – кран на мерном баке

 

Рисунок 45 – Установка Рейнольдса для изучения режимов движения жидкости

 

При небольших значениях скорости v подкрашенная струйка имеет вид нити с четко очерченными границами. Жидкость движется отдельными не перемешивающимися слоями (рис. 46, а).

Движение жидкости, при котором отсутствуют изменения (пульсации) местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости, называют ламинарным (от латинского слова lamina – слой, пластинка).

При больших скоростях окрашенная струйка начинает искривляться и становится волнообразной (рис. 46, б). Это происходит в результате изменений во времени (пульсации) векторов местных скоростей в потоке.

 

 

Рисунок 46 – Ламинарное (а) и турбулентное (б, в) движение жидкости

 

Наличие поперечных пульсаций является отличительной чертой турбулентного течения. Поэтому появление поперечных колебаний окрашенной струйки жидкости служит указанием на переход ламинарного режима в турбулентный.

При дальнейшем увеличении скорости потока струйка распадается на отдельные хорошо видные вихри, происходит перемешивание окрашенной струйки со всей массой текущей жидкости. На небольшом расстоянии от входа (10…20 диаметров трубы) поток оказывается равномерно окрашенным (рис. 46, в).

Движение жидкости, при котором происходят изменения (пульсации) местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости называют турбулентным (от латинского слова turbulentus – беспорядочный, бурный).

Рейнольдс установил, что переход от ламинарного течения к турбулентному и наоборот определяется средней скоростью течения v, характерным поперечным размером потока L, физическими свойствами жидкости: плотностью r и вязкостью (динамический коэффициент вязкости h или кинематический коэффициент вязкости n). В общем случае режим движения жидкости определяется безразмерным комплексом, составленным из указанных величин и называемым числом (критерием) Рейнольдса

 

Re = = (24.1)

 

Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам трения (вязкости).

Переход от одного режима движения в другой объясняется преобладанием силы инерции или силы трения.

В качестве характерного геометрического размера живого сечения потока L чаще всего принимают диаметр трубы d (для круглых напорных труб), для некруглых и безнапорных труб гидравлический радиус R или диаметр эквивалентный . Тогда, соответственно

 

Re = , = , Red экв =

 

Скорость потока, при которой происходит смена режима движения жидкости, называется критической. Рейнольдс обнаружил существование двух критических скоростей: верхней критической скорости – при переходе ламинарного режима движения в турбулентный, и нижней критической скорости – при переходе турбулентного режима движения в ламинарный. Соответственно различают верхнее и нижнее критические числа Рейнольдса.

Ламинарный режим Возможен устойчивый Возможен неустойчивый Невозможен
Турбулентный режим Невозможен Возможен устойчивый Возможен устойчивый

0 Re

 

Для круглых напорных труб при установившемся равномерном движении жидкости = 2000 … 2320, а = 4000 … 100000.

Значение (переход ламинарного течения в турбулентное) зависит от внешних условий опыта: постоянства температуры, уровня вибрации установки, условий входа в трубку, шероховатости поверхности стенок трубы, состояния жидкости в резервуаре, питающем трубу и т.п. Значение (переход турбулентного движения в ламинарное) от этих величин практически не зависит.

При Re < будет существовать ламинарное (слоистое) движение, причём оно будет устойчиво, то есть искусственно разрушить слоистую структуру (турбулизовать поток), то она восстановится. При больших числах Re > слоистая структура существовать не может. А в диапазоне < Re < ламинарный режим существовать может, но он неустойчив; если слоистая структура разрушается, то вновь она не восстанавливается и режим движения становится турбулентным. Достаточно воздействия малого возмущения, чтобы произошёл переход в турбулентное движение. В практических условиях, где всегда есть источники случайных возмущений, следует считаться только с нижней границей.

Таким образом, в качестве критического числа Рейнольдса принят для цилиндрических напорных труб

 

Reкр = = 2000…2320.

 

Для любого потока по известным v, L и n можно вычислить число Рейнольдса и сравнить его с критическим значением Reкр. Если Re < Reкр, то v < и режим движения жидкости ламинарный; если Re > Reкр, то v > и режим движения турбулентный.

На конфузорных (сужающихся) участках труб значение Reкр больше, а на расширяющихся участках (диффузорах) Reкр меньше значения 2000…2320.

В природе и технике турбулентное движение жидкости наблюдается чаще, чем ламинарное. Области ламинарного движения:

· движение очень вязких жидкостей типа масел по трубам и механизмам;

· движение грунтовых вод (но оно может быть также и турбулентным);

· движение в капиллярах (в том числе и движение крови в живых организмах).

 

Тема 25 Основные отличия ламинарного и турбулентного движения в трубе круглого сечения

 

При ламинарном движении жидкость движется отдельными, не перемешивающимися слоями.

При турбулентном течении поток несжимаемой жидкости может быть разделён на пограничный вязкий подслой и основную часть потока – турбулентное ядро, с соответствующими преобладающими видами вязкости.

Турбулентный поток по своим свойствам резко отличается от ламинарного. Пульсации векторов местных скоростей в турбулентном потоке влияют на соответствующие потери энергии, входящие в уравнение Бернулли. В результате турбулентного перемешивания величина потерь энергии возрастает и зависит не только от вязкостных свойств, как в случае ламинарного течения, но и от степени турбулизации. При ламинарном режиме потери энергии подлине пропорциональны средней скорости потока v в первой степени, при турбулентном – скорости в степени 1,75…2.

Отличны процессы передачи тепла при ламинарном и турбулентном режимах течения. В первом случае теплообмен происходит только за счёт теплопроводности жидкости; при турбулентном режиме в результате непрерывного поперечного перемещения частиц решающую роль играет теплообмен путём конвекции. Поэтому эффективность теплообмена при турбулентном режиме намного больше, чем при ламинарном.

Наконец, вопрос о двух режимах течения тесно связан с эффектом турбулентной диффузии, когда поперечные перемещения масс жидкости способствуют переносу твёрдых частиц.

Основные отличия ламинарного и турбулентного режима течения, в случае движения в круглом напорном трубопроводе представлены в таблице 23.1.

 

 


 

Таблица 23.1 – Основные отличия ламинарного и турбулентного течения (движение в трубе круглого сечения)

 

Признак Ламинарный режим Турбулентный режим
Число Рейнольдса Re < Reкр Re > Reкр
Структура потока Жидкость движется отдельными не перемешивающимися между собой слоями   Рисунок 47 – Структура потока при ламинарном движении Структура потока может быть представлена в виде приближенной двухслойной модели (схемы). Вблизи твердой стенки находится очень тонкий (его толщина около 0,01 радиуса трубы ) вязкий подслой, где преобладают силы вязкости. Основная часть потока – турбулентное ядро, где происходят интенсивные пульсации скорости и перемешивание частиц жидкости   Рисунок 48 – Структура потока при турбулентном режиме движения жидкости
Касательные напряжения Касательные напряжения зависят только от вязкостных свойств жидкости. Рассчитываются по закону вязкого трения Ньютона     где – динамический коэффициент вязкости. Учитывает молекулярную структуру жидкости. Возникают дополнительные касательные напряжения, вызванные пульсацией потока , которые должны быть добавлены к вязкостным:     где – коэффициент турбулентного перемешивания (турбулентная вязкость). Учитывает особенности турбулентного движения. Не является константой для данной жидкости, так как обусловлен турбулентным перемешиванием частиц. В вязком подслое вязкостное молекулярное трение преобладает в сравнении с турбулентным. В ядре турбулентного потока турбулентная вязкость в десятки раз превышает молекулярную вязкость. Вязкие напряжения не оказывают непосредственного влияния на распределение осредненной скорости.
Распределение скоростей в поперечном сечении потока В поперечном сечении скорости распределяются по закону параболы с максимальной скоростью umax на оси трубопровода или   где – радиус трубопровода; d – диаметр трубы; – расстояние от оси до данной точки; – динамический коэффициент вязкости; i – гидравлический уклон.       Рисунок 49 – Поле скоростей при ламинарном течении В вязком подслое скорость резко возрастает от нуля на твердой стенке до (0,6…0,8) v. Профиль скорости изменяется по закону прямой линии     где у – расстояние от стенки трубы до данной точки/ В основном сечении (турбулентном ядре) закон распределения скорости близок к логарифмическому с максимальной скоростью на оси потока. Профиль скорости описывается, например, уравнением Никурадзе     где uдин – динамическая скорость, характеризующая турбулентность потока. Рисунок 50 – Поле скоростей при турбулентном течении
Соотношение средней v и максимальной umax скоростей Соотношение постоянно. Средняя скорость потока в сечении равно половине максимальной   v = 0,5 × umax Зависимость между средней и максимальной скоростью не характеризуется постоянным числом, а определяется турбулентностью потока uдин. Зависимость имеет вид   v = umax – 3,75 × uдин.   В большинстве практических случаев это соотношение составляет v = (0,9…0,99) ´ umax.   Часто округленно принимают v = 0,9 × umax.
Потери энергии на трение по длине трубопровода Потери энергии на трение пропорциональны средней скорости потока в первой степени (n = 1) Потери энергии по длине пропорциональны средней скорости потока в степени n = (1,75 …2)

 

 


 

Тема 28 Потери энергии на трение по длине трубопровода

 

При движении реальной жидкости часть энергии потока теряется на преодоление сил трения. При равномерном движении в трубах потери удельной энергии на трение по длине (линейные потери) как при ламинарном, так и при турбулентном движении определяют для круглых труб по формуле Дарси-Вейсбаха:

· потери