КУРС ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Физика»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ

Факультет заочного обучения

 

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине «Физика» для студентов заочной (ускоренной) формы обучения  

Современная экспериментальная физика

Подлинная революция в экспериментальном исследовании взаимодействий элементарных частиц связана с применением ЭВМ для обработки информации,… ЭВМ стали неотъемлемой частью физических исследований и применяются как для…  

Лекция №2

Вопросы: 1) Материальная точка. 2) Система отсчета.

Рис. 1

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями: (1), эквивалентными векторному уравнению: (2).

Уравнения (1) и (2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве называется числом степеней свободы. Если материальная точка свободно движется в пространстве, то она обладает тремя степенями свободы (координаты x, y и z), если она движется по некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если вдоль некоторой линии, то одной степенью свободы.

Исключая t в уравнениях (1) и (2) получим уравнение траектории движения материальной точки.

Траекториядвижения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движения может быть прямолинейным или криволинейным если траектория точки плоская кривая, т.е. целиком лежит в одной плоскости, то движение точки называют плоским.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (Рис. 2)

 

 

 

Рис. 2

Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути и является скалярной функцией времени: . Вектор , пройденный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения равен пройденному пути .

Скорость.

Средней скоростью точки в промежутке времени от t до называется <>, равный отношению приращения радиус-вектора точки за этот промежуток… Направление вектора средней скорости совпадает с направлением . При… (4).

Ускорение.

Ускорениемназывается вектор , равный первой производной по времени t от скорости этой точки. (9) На основании формулы (4), ускорение точки равно также второй производной по времени от радиус-вектора этой точки:…

Лекция №3.

Вопросы: 1)Абсолютно твердое тело. 2)Поступательное и вращательное движение твердого тела.

Рис. 2

Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются и ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта. Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

.

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. также, как и вектор (рис.4)

 

Рис. 3

 

Размерность угловой скорости , а ее единица – радиусы в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 2): , т.е. .

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: .

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к . Если , то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т-временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол . Так как промежутку времени , соответствует , то , откуда .

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

, откуда .

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: .

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис. 4), при замедленном – противонаправлен ему (рис. 5).

 

 

 

 

Рис. 4 Рис. 5

Тангенциальная составляющая ускорения , и .

Нормальная составляющая ускорения:

Таким образом, связь между линейными (длина пути S, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость , тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами: , , ,

В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const).

, где - начальная угловая скорость.

Механическая система (в частности, твердое тело), имеющая возможность перемещаться в любом направлении, является свободной. Условия, ограничивающие свободу ее перемещения, называются связями. Они накладываю ограничения либо только на положения, либо также и на скорости точек, входящих в систему.

Независимые параметры, определяющие положение точки тела (системы) относительно выбранной системы отсчета, называются степенями свободы точки или тела (системы). Так, свободная материальная точка обладает тремя степенями свободы.

 

Лекция №4.

Тема: «Динамика материальной точки.»

Вопросы:

1)Первый закон Ньютона.

2)Инерциальные системы отсчета.

3) Масса и импульс.

4)Второй закон Ньютона как уравнение движения.

5)Третий закон Ньютона.

6)Преобразование Галилея.

7)Принцип относительности.

8)Конечность скорости распространения взаимодействия.

9)Примости применимости ньютоновской механики.

10)Закон всемирного тяготения.

11)Сила тяжести и вес. Упругие силы. Сила трения. Сухое и жидкое трение.

В основе классической динамики лежат три закона Ньютона.

В качестве первого закона динамики. Ньютон принял закон установленный ещё Галилеем.

Первый закон Ньютона гласит: всякое тело (материальная точка) сохраняет покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор пока внешние воздействие не заставит его изменить это состояние.

Стремление тело сохранять состояния покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называет также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отчета. Инерциальной системой отчета является такая система отчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отчета.

Опытным путём установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отчета (начало координат находится центре Солнца, а оси, проведены в направление определенных звезд). Система отчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальная, однако эффекты, обусловленные её неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и этих случаях её можно считать инерциальной.

Масса.

В качестве меры инертности тела в механике вводится положительная скалярная величина m-масса тела. Чем больше инертность тела, и его масса m, тем меньше ускорение оно должно приобретать под действием одной и той же силы . Основная задача динамики заключается выяснении того, как изменяется механическое движение тел под влиянием приложенных к ним сил. Опыты показали, что под действием силы свободное твердое тело изменяется свою скорость , приобретая ускорение . Это ускорение пропорционально силе и совпадает с ней по направлению: ,

Где К₁- положительный коэффициент пропорциональности, постоянный для каждого конкретного тела;

Соотношение (*) служит убедительным подтверждением того, что тело обладают свойствам инертности. Благодаря инертности тело изменяет свою скорость не мгновенно, а постепенно, приобретая под действием силы конечное ускорение. Как показывает опыт, масса - величина аудитивная: масса тела равна сумме масс всех частей этого тела. Соответственно, масса произвольной механической системы равна сумме масс всех материальных точек, на которые эту систему можно мысленно разбить.

Инертность тел можно продемонстрировать с помощью следующего опыта.

Опыт: Стеклянную колбу ставят на край листа бумаги, лежащей на горизонтальной поверхности стола. Затем взявшись за другой край листа, медленно его тянут вдоль стола. При этом бумага вместе со стоящей на ней колбой, перемещается по столу. Если же бумагу потянуть рывком, то она выдергивается из под колбы, которая продолжает стоять на столе. Различное поведение колбы в этих двух случаях непосредственно связано с её инертность .

Для приведения колбы в движение относительно стола к ней нужно приложить горизонтальную силу , где m-масса колбы, - сообщаемое ей ускорение. Роль этой силы играет сила трения F_тр между колбой и листом бумаги. Однако, (из школы) известно что , где коэффициент трения. Поэтому если ускорение , сообщаемое листу бумаги, невелико то сила трения покоя достаточно для сообщения колбе такого же ускорения, так что колба движется вместе с бумагой. Если же ускорение листа бумаги очень велико то колба приобретает под действием силы трения скольжения ускорения . За очень малый промежуток времени, в течении которого происходит выдергивание бумаги из-под колбы, последняя практически не успевает сдвинуться с места.

Второй закон Ньютона.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и тоже тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально… При действии одной и той же силы на тело с разными массами их ускорение… Используя выражения (1) и (2) и учитывая, что сила и ускорение- величины векторные можно записать: (3)

Рис. 1

 

Для его доказательства рассмотрим две системы отчета: инерциальную систему К (с координатами , которую условно будем считать неподвижной, и систему ( с координатами ), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью . Отчет времени начнем с момента, когда начало координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольной момент времени t расположение этих систем друг относительно друга имеет вид, изображенный на рис.1. Скорость направлена вдоль 00, радиус-вектор, проведенный из 0 в ,

Найдем связь между координатами, произвольной точки А в обеих системах. Из рис.1. видно, что (1.1)

Уравнение (1.1) можно записать в проекциях на оси координат:

Уравнения (1.1) и (1.2) носят название преобразований координат Галилея.

В частном случае, когда система движется со скоростью вдоль положительного направления оси Х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразований координат Галилея имеют вид:

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отчета, т.е. к преобразованиям (1.2) можно добавить еще уравнение: (1.3)

Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики, а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца.

Продифференцировав выражение (1.1) по времени ( с учетом 1.3), получим уравнение: ,(1.4), которое представляет собой правило сложение скоростейклассической механике .

Ускорение в системе отсчета К:

Т.о., ускорение точки А в системах отчета К и , движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково:(1.5).

 

Следовательно, если на точку другие тела не действуют то согласно 1.5., и т.е. система является инерциальной (точка движется относительно ни равномерно и прямолинейно или покоится).

Т.О. из соотношения (1.5) вытекает подтверждение механического принципа относительности: уравнение динамики при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой не изменяются т.е. является инвариантными по отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отчета, нельзя установить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определять покоиться корабль или движется, не выглянув окно.

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сформированные им в 1905 г.

1)Принципы относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические), проверенные внутри данной инерциальной системе отчета, не дают возможности обнаружить, покоиться ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отчета к другой.

2) Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отчета.

Сила трения.

Всякое тело, движется по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет своё движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения могут быть разной природы, в но результате их действия механическая энергия превращается во внутреннюю энергию соприкосновения тел.

Различают внешние (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трения. Внешним трением называется трение возникающие в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающихся тела неподвижны друг относительно друга, говоря о трении покоя. Если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости характера их относительного движения говорят о трении скольжения, качения или верчения.

Внутренние трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою.

В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. Таком случаи говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении толщина смазочной прослойки мкм (микрометр и меньше).

Внешние трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей; в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

 

N

F

Р Рис. 2

 

Рассмотрим лежащие на плоскости тело (рис.2), к которому приложена горизонтальная сила . Тело приходит в движение лишь тогда, когда приложенная сила будет больше силы трения .Французские физики Амонтон и Ж. Кулон опытным путем установили следующий закон: сила трения скольжение Fтр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое: где f-коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения - скольжение трением –качения (шариковые и роликовые подшипниками и т. д.).

Силытрением – качения определяется по закону установленным Кулоном:

(1.6)

где r- радиус катящегося тела; коэффициент трения качения, имеющий размерность . Из формулы (1.6) следует что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес.

Вначале 16 века польским астрономом Н. Коперником (1473-1543)обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движения небесных тел объясняется движением земли (а так же других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли.

К началу 17 века большинство ученых убедилась в справедливости гелиоцентрической системы мира, и И. Кеплер (1571-1630), обработав и уточнив результаты многочисленных наблюдений датского астронома Т.Браге (1546-1601), изложил законы движения планет:

1)Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2)Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3)Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Впоследствии И.Ньютон, изучая движение небесных тел, на основании законов Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точеки обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними :(1.7.)

Эта сила называется гравитационной ( или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.

 

Лекция№5.

Тема: «Законы сохранения.»

1)Внешние и внутренние силы.

2)Замкнутая система.

3)Сохраняющиеся величины.

4)Связь законов сохранения со свойствами пространства и времени.

5)Импульс силы.

6)Закон сохранения импульса.

7)Центр масс.

8)Ускорение движения центра масс.

9)Система центра масс.

10)Реактивное движение.

Для вывода закона сохранения импульса познакомимся с некоторыми понятиями. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой ( или изолированной).

Основной закон динамики материальной точки, который записывается форме: или ,утверждает, что :скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силы.

Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причинности в классической механике, так как устанавливает однозначную связь между изменением стечением времени. Состояние движения и положение в пр-ве материальной точки и действующей на неё силой. Этот закон позволяет, зная начальное состояние материальной точки (её координаты и скорость какой либо начальный момент времени) и действующую на неё силу, рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени.

На основании обобщения опытных фактов был сформулирован важный принцип ньютоновской механики, названной принципом не зависимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то каждая из них сообщает материальной точке такое же ускорение как если бы других сил не было.

Таким образом, ускорение , приобретаемое материальной точкой масса m под действием одновременно приложенных к ней сил равно:

, где

- результирующая сила. Эта сила, так же как ускорение материальной точки лежит в соприкасающейся плоскости и может быть разложена в этой плоскости на две составляющие – касательную в траектории () и нормальную ():

= + .

Перепишем основной закон динамики материальной точки, (который имеет вид ) в виде (1).

Вектор называется элементарным импульсом силы за малый промежуток времени dt ее действия. Таким образом, из основного закона динамики материальной точки и принципа независимости действия сил следует, что изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени dt равно элементарному импульсу за тот же промежуток времени результирующей всех сил, действующих на эту материальную точку.

Изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени от t = t₁ до , найдем, интегрируя уравнение (1):

(2).

Интеграл, стоящий в правой части уравнения (2), есть импульс силы за промежуток времени . Если на материальную точку действует постоянная сила , то (2’).

В случае переменной силы (2’’), где среднее значение переменной сила в промежутке времени от t₁ до t₂, то есть такая постоянная сила, импульс которой равен импульсу переменной силы .

 

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m₁, m₂, …, m_n и Пусть - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а - равнодействующие внутренних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

…………………….

.

Складывая почленно эти уравнения, получаем

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

или (3), где - импульс системы.

Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внутренних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

то есть (4)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, то есть закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства – его однородности.

Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Отметим, что согласно (3), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея-Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс.

Центром масс или центром инерции системы материальных точек называется воображаемая точка С, радиус-вектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных точек системы на их радиусы-вектора к массе всей системы:

(5), где m_i и - масса и радиус-вектор i-й материальной точки, n и - общее число этих точек в системе и ее суммарная масса. В частности, если радиусы-векторы проведены из центра масс С (обозначим их ), то (6).

Таким образом, центр масс – это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные из этой точки, равны нулю.

В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы:

(7), где - радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm, а интегрирование проводится по всем элементам системы, то есть по всей ее массе m

Скорость центра масс механической системы равна отношению импульса этой системы к ее массе: (8)

Учитывая, что , а есть импульс системы, можно написать , (9), то есть импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив (9) в (3), получим:

. (10), или (10’)

То есть центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражения (10) и (10’) представляют собой закон движения центра масс.

В соответствии с (9) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Механическая система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой системой. Строго говоря, замкнутых систем нет хотя бы лишь потому, что на все тела действует сила тяготения. Однако реальную систему тел можно приближенно считать замкнутой, если сила взаимодействия частей этой системы во много раз больше внешних сил. Например, внешние силы тяготения, действующие на тела Солнечной системы, пренебрежимо малы по сравнению с силами притяжения этих тел друг к другу. Поэтому с достаточно большой степенью точности можно считать Солнечную систему замкнутой.

Из-за закона движения центра масс (10) – (10’) следует, что скорость центра масс замкнутой механической системы не изменяется с течением времени.

В качестве системы отсчета в механике часто пользуются системой центра масс поступательно движущейся системой отсчета, относительно которой центр масс рассматриваемой механической системы неподвижен. Система центра масс замкнутой механической системы инерциальная. Если же механическая система не замкнута и главный вектор внешних сил , то скорость центра масс и система масс такой механической системы неинерциальная.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты, уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость , то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m – dm, а скорость станет равной . Изменение импульса за отрезок времени dt: где - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда (учили, что - малый высшего порядка малости по сравнению с остальными).

Если на систему действуют внешние силы, то , или (11).

Второе слагаемое в правой части (11) называют реактивной силой . Если противоположен по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.

Таким образом получим уравнение движения тела переменной массы (12), впервые было выведено И.В. Мещерским (1859-1935). К.Э. Циолковский (1857-1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считаю основателем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (11) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагаем и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим , откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m₀, , следовательно (13).

Это соотношение называется формулой Циолковского.

Оно показывает, что:

1) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m₀;

2) чем скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (12) и (13) получены для нерелятивистских движений, то есть для случаев когда скорости и u малы по сравнению со скоростью С распространения света в вакууме.

Лекция№6

Тема: «Энергия и работа. Работа переменной силы. Мощность. Кинетическая энергия.»

Вопросы:

1)Консервативные силы.

2)Потенциальная энергия частицы.

3)Полная механическая энергия частицы. Закон е сохранения.

4)Вторая космическая скорость.

5)Связь между потенциальной энергией и силой поля.

6)Закон сохранения механической энергии системы.

7)Общефизический закон сохранения энергии.

 

В качестве единой количественной меры различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий в физике вводится скалярная величина, называемая энергией. Движение – неотъемлемое свойство материи. Поэтому любое тело, любая система тел и полей обладает энергией, или как часто говорят запасом энергии. Энергия системы количественно характеризует эту систему в отношении возможных в ней превращений движения.

Эти превращения происходят вследствие взаимодействий между частями системы, а также между системой и внешней средой. Для различных форм движений и соответствующих им взаимодействий в физике вводят различные виды (формы) энергии – механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и т.д. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других переходит в иную форму (например, в результате трения механические движения превращаются в тепловые). Однако, существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызываются силами, действующими со стороны других тел. Что бы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

В случае прямолинейного движения тела на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый угол с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции F_S на направление перемещения () умноженной на перемещение точки приложения силы: (1).

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (1) пользоваться нельзя.

Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение , то силу можно считать постоянной, а движение точки ее приложения – прямолинейным.

Элементарной работой силы на перемещении называется скалярная величина , где - угол между векторами и ; - элементарный путь; F_S – проекция вектора на вектор (рис. 1).

 

Рис. 1

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сума приводится к интегралу:

(2)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимости силы F_S от пути S вдоль траектории 1-2.

Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 2), тогда искомая работа А определяется на графике площадью заштрихованной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила и , то получим , где S - пройденный телом путь.

Рис. 2

Из формулы (1) следует, что:

1) при работа силы положительна, в этом случае F_S совпадают по направлению с вектором скорости движения (см. рис. 1);

2) при работа силы отрицательна;

3) при (сила направлена перпендикулярно направлению) работа силы равна нулю.

Единица работы – Джоуль (Дж): 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж = 1 Н*м).

Для характеристики работы, совершаемой силой за единицу времени, в механике вводится понятие мощности.

Мощность N силы называется отношение элементарной работы dA, совершаемой этой силой за малый промежуток времени, к его длительности dt: (3), где скорость перемещения точки приложения силы. Итак, мощность силы равна скалярному произведению этой силы на скорость точки ее приложения.

Следует подчеркнуть, что и работа, и мощность силы зависит от выбора системы отсчета.

В механике различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетической энергией механической системы называется энергия механического движения этой системы. Сила , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до , идет на увеличение кинетической энергии dT тела, то есть, dA = dT.

Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещение , получаем , так как , то , откуда .

Таким образом, тело массой m, движущееся со скоростью , обладает кинетической энергии (4).

Из формулы (4) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы. Например, кинетическая энергия системы из n материальных точек равна: , где - скорость i-ой материальной точки, m – ее масса. Таким образом, кинетическая энергия системы полностью определяется значениями масс и скоростей, входящих в нее материальных точек. Она не зависит от того, каким образом части системы приобрели данные значения скоростей. Кратко это важное утверждение формулируют след образом: кинетическая энергия системы есть функция состояния ее механического движения.

Заметим также, что в отличии от импульса кинетическая энергия системы не зависит от того в каких направлениях движутся ее части.

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называют потенциальными, а силы действующие в них – консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной, ее примером является сила трения.

Работа A_1-2, совершаемая потенциальными силами при изменении конфигурации системы, то есть расположения ее частей (материальных точек) относительно системы отсчета, не зависит от того, как конкретно осуществляется процесс перехода из начальной конфигурации системы (1) в конечную (2). Работа A_1-2 полностью определяется начальной конфигурацией системы, следовательно, ее можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы W_n, называемой потенциальной энергией системы.

(5).

Соответственно элементарная работа потенциальных сил при малом изменении конфигурации системы: (6).

Если внешние потенциальные силы не стационарны, то потенциальная энергия системы зависит не только от конфигурации системы, но также и от времени t. Между тем работу эти силы совершают только при перемещении системы. Поэтому соотношение (6) справедливо лишь при условии стационарности внешних потенциальных сил. В общем случае: (7).

Член показывает, как изменяется за малое время dt потенциальная энергия системы при условии, что конфигурация системы остается одной и той же.

Из соотношений (5) и (7) видно, что, изменяя работу потенциальных сил, приложенных к системе, можно найти разность значений потенциальной энергии этой системы в двух ее состояниях: начальном и конечном. Иначе говоря, потенциальную энергию системы можно найти только с точностью до произвольного постоянного слагаемого. В каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости потенциальной энергии рассматриваемой системы от ее конфигурации выбирают нулевую конфигурацию, в которой потенциальную энергию системы полагают равной нулю. Таким образом, потенциальной энергией механической системы называется величина равная работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные силы при переводе системы из одного рассматриваемого состояния в состояние, соответствующее ее нулевой конфигурации (при вычислении работы нестационарных внешних потенциальных сил время t нужно считать функциональным параметром).

Рассмотрим простейшую механическую систему, состоящую из одной материальной точки, на которую действует потенциальная сила . Из (7) следует, что .

Или, согласно выражению

.

Так как координаты точки x, y, z – независимые переменные, то в последнем уравнении должны быть попарно равны слева и справа коэффициенты при dx, dy, dz. Таким образом, связь между потенциальной энергией материальной точки и соответствующей ей потенциальной силой имеет вид:

, , (8) или (9)

Вектор, стоящий в (9) справа в квадратных скобках и построенный с помощью скалярной функции W_n, называется градиентом функции W_n и обозначается grad W_n. Итак, сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой точки в рассматриваемом поле: (10). Часто эту функцию записывают в виде:

(11), где - оператор набла (12).

Конкретный вид функции W_n зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли равно (13), где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого W_n0 = 0. Выражение (13) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна). Если принять за нуль потенциальную энергию тела лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h’)? .

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины) сила упругости пропорциональна деформации, где - проекция силы упругости на ось х; к - коэффициент упругости (для пружины - жесткость), а знак минус указывает, что направлена в сторону противоположенную деформации х.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, то есть .

Элементарная работа dA, совершаемая силой при бесконечно малой деформации dx равна , а полная работа идет на увеличение потенциальной энергии упругодеформированного тела .

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия: Е = Т + П = W_k + W_n, то есть, равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, …, m_n, движущихся со скоростями Пусть - равнодействующие внутренние консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а - равнодействующие внутренних сил, которые тоже будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют внешние не консервативные силы, равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим .

При массы материальных точек постоянны и уравнение второго закона Ньютона для этих точек следующие:

,

,

…………………………

.

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные , , …, . Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что , получим:

,

………………………………………

Сложив эти уравнения, получим:

(14)

Первый член части равенства (14)

где dT – приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и вешних консервативных сил, взятой со знаком минус, то есть, равен элементарному приращению потенциальной энергии dW_n системы. Правая часть равенства (14) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом (15).

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2, , то есть изменение полной механической энергии системы пре переходе из одного состояния в другое равно работе, совершаемой при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (15) следует, что , откуда (16). То есть полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (16) представляет собой закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяются со временем.

 

Лекция №7

Тема: «Закон сохранения импульса. Абсолютно неупругий удар.»

Вопросы:

 

1. На замкнутую систему внешние силы не действуют. Поэтому из закона изменения импульса (2.20) вытекает следующий закон, называемый законом сохранения импульса:

импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени:

и ,

где m_i и V_i — масса и скорость i-й материальной точки системы, состоящей из n точек. Соответственно не изменяются также и проекции импульса замкнутой системы на оси декартовых координат инерциальной системы отсчета:

, , ,

Импульс системы , где m — масса всей системы, а V_c — скорость ее центра масс. Поэтому из закона сохранения импульса следует, что при любых процессах, происходящих в замкнутой системе,• скорость ее центра масс не изменяется: V_c=const.

Мы получили закон сохранения импульса, основываясь на законах Ньютона, так как именно с их помощью был выведен закон изменения импульса (2.20). Однако закон сохранения импульса в отличие от законов Ньютона справедлив не только в рамках классической механики Ньютона. Например, как показывают эксперименты, он в равной мере справедлив как для макроскопических систем тел, так и для систем микрочастиц, хотя поведение последних описывается не ньютоновской, а квантовой механикой. Выполняется этот закон и в релятивистской механике, т. е. независимо от того, велики или малы скорости тел или частиц, образующих систему. При этом нужно иметь в виду, что импульсом могут обладать не только частицы и тела, но также и поля. Наглядное тому подтверждение — давление электромагнитных волн и, в частности, света на отражающие или поглощающие их препятствия.

Таким образом, закон сохранения импульса принадлежит к числу самых фундаментальных законов физики. На этом вопросе мы еще остановимся в 5.6.

2. В некоторых процессах (например, при ударе, взрыве или выстреле) импульсы частей системы претерпевают большие изменения за сравнительно короткие промежутки времени. Это связано с возникновением в системе кратковременных, но весьма значительных по величине внутренних сил взаимодействия частей системы, по сравне­нию с которыми все постоянно действующие на систему внешние силы (например, сила тяжести) оказываются малыми. В таком процессе обычно можно пренебречь действием на систему внешних сил, т. е. можно приближенно считать, что импульс всей системы в целом не изменяется в рассматриваемом процессе.

Если система не замкнута, но действующие на нее внешние силы таковы, что их

главный вектор тождественно равен нулю (F^внеш=0), то согласно закону (2.20) импульс системы не изменяется с течением времени: р=const.

Обычно F^внеш≠0 и р≠const. Однако если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо неподвижную ось тождественно равна нулю, то проекция на ту же ось вектора импульса системы не изменяется со временем. Так, при условии, что . Например, если на систему действуют внешние силы, которые направлены только вертикально, то горизонтальная составляющая импульса системы не изменяется. В этом можно убедиться на следующем опыте.

Опыт. Тяжелый маятник установлен на тележке, которая имеет возможность свободно перемещаться по горизонтальным рельсам практически без всякого трения (рис. 5.1). Если, придерживая тележку, отклонить маятник от положения равновесия, а затем одновременно отпустить маятник и тележку, то они оба приходят в движение. Скорость тележки всегда противоположна по направлению горизонтальной составляющей скорости центра масс маятника. В те моменты времени, когда при колебаниях шар маятника проходит через, положения наибольших отклонений и имеет нулевую скорость, тележка также останавливается.

 

Рис 5. 1.

 

 

3. Рассмотрим применение закона сохранения импульса к расчету абсолютно неупругого прямого центрального удара двух тел. Ударом называется явление изменения скоростей тел на конечные значения за очень короткий промежуток времени, происходящее при их столкновениях. В процессе удара возникают кратковременные ударные силы взаимодействия между сталкивающимися телами, причем эти силы во много раз превосходят все внешние силы, действующие на тела. Поэтому в процессе удара систему соударяющихся тел можно приближенно считать замкнутой и применять к ней закон сохранения импульса.

Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения называется линией удара. Удар называется прямым, если перед ударом скорости центров масс соударяющихся тел параллельны линии удара. Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара. Прямой центральный удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое, т. е. с одной и той же скоростью. Если скорости тел до удара равны V₁ и V₂, а их массы равны m₁ и m₂, то в соответствии с законом сохранения импульса общая скорость поступательного движения этих тел после абсолютно неупругого прямого центрального удара равна

(5.2)

В случае абсолютно неупругого удара, не являющегося прямым центральным, формула (5.2) позволяет найти скорость центра масс соединившихся при ударе тел. Однако в результате такого удара может также возникнуть вращение системы вокруг ее центра масс, согласующееся с законом сохранения момента импульса.

4. При неупругом ударе происходят различного рода процессы в соударяющихся телах (их пластические деформации, трение и др.), в результате которых кинетическая энергия системы частично преобразуется в ее внутреннюю энергию, т. е. происходит диссипация механической энергии системы.

Изменение кинетической энергии системы двух сталкивающихся тел при абсолютно неупругом прямом центральном ударе равно

*Предполагается, что соударяющиеся тела либо свободны, либо наложенные на них связи таковы, что ударные реакции связей не возникают. В противном случае систему соударяющихся тел нельзя считать замкнутой.

В частности, если второе тело до удара покоится (например, свая, забиваемая при помощи копра, или поковка, лежащая .на наковальне), то относительное уменьшение кинетической энергии системы при абсолютно неупругом прямом центральном ударе

.

В технике используют абсолютно неупругий прямой центральный удар либо для изменения формы тел (ковка, штамповка, клепка и т. п.), либо для перемещения тел в среде с большим сопротивлением (забивание гвоздей, свай и т. п.). В первом случае целесообразно, чтобы отношение было возможно ближе к 1, т. е. необходимо, чтобы m₂>>m₁ (масса отковываемого изделия и наковальни должна во много раз превосходить массу молота). Во втором случае, наоборот, нужно, чтобы потери кинетической энергии при ударе были возможно меньшими, т. е. чтобы m₁>>m₂ (масса молотка должна во много раз превосходить массу забиваемого гвоздя).

Закон сохранения механической энергии. Абсолютно упругий удар.

1. Механическая система называется консервативной, если все действующие на нее внешние и внутренние непотенциальные силы не совершают работы… Поэтому из (3.37) видно, что механическая энергия консервативной системы не… Этот закон называется законом сохранения механической энергии. В частности, он справедлив для замкнутых консервативных…

Рис. 1

Модуль момента силы (1),

где - угол между и ; - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плече силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина М_z, равное проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 2).

Рис. 2.

Значение момента М_z на зависит от выбора положения точки О на оси Z. Если ось Z совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси: .

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящий через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту его инерции I_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: .

Найдем выражение для работы при вращении тела (см. рис. 3).

Рис. 3.

 

Пусть сила приложена в точке В, находящейся от оси Z на расстоянии , - угол между направлением силы и радиус-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения В проходит путь и работа равная произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: . Учитывая (1) можно записать , где - момент силы относительно оси Z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Рассмотрим абсолютно твердое тело вращающееся около неподвижной оси Z проходящей через него (рис. 4).

Рис. 4.

Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂,…, m_n, находящиеся на расстоянии r₁, r₂,…, r_n от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_i опишут окружности различных радиусов и имеют различные линейные скорости . Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова: (2).

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов: или

Используя выражение (2), получаем: ,

Где I_z – момент инерции тела относительно оси Z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела: (3).

Из сравнения формулы (3) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Формула (3) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения твердого тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергий вращения: , где m – масса катящегося тела; V_c – скорость центра масс тела; I_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; - угловая скорость тела.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: , но , поэтому , или . Учитывая, что , получаем:

(4)

Уравнение (4) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Если ось Z совпадает с главной осью инерции проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство: (5), где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: , где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А; - импульс материальной точки (рис. 5). - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Рис. 5.

Модуль вектора момента импульса:

, где a - угол между векторами и, l – плечо вектора относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси Z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси Z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы равен:

(6) и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу получим:

, т.е. (7)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (7) по времени:

, т.е. (8)

Это выражение (8) – еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Имеет место векторное равенство: (9)

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда (10).

Выражение (10) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления оси координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на угол).

Свободными осями или осями свободного вращения называют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. В теле существует три взаимно перпендикулярных оси, проходящих через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела).

Гироскопы – массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта.

Рис. 6.

Оно состоит в том, что под действием пары сил , приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа (рис. 6) поворачивается вокруг прямой О₃О₃, а не вокруг прямой О₂О₂, как это казалось бы естественным на первый взгляд ( О₁О₁ и О₂О₂ лежат в плоскости чертежа, а О₃О₃ и силы перпендикулярны ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом: момент пары сил направлен вдоль прямой О₂О₂. За время dt момент импульса гироскопа получит приращение (направление совпадает с направление ) и станет равным . Направление вектора совпадет с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О₃О₃. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил и велик, изменение момента импульса гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Для того, чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизмененным, используют подшипники, в которых она удерживается. Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа.

Гироскопы применяются для поддержания заданного направления движения транспортных средств, например, судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и др. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порывы ветра и т.д.) положение оси гироскопа в пространстве сохраняется.

Впервые гироскоп применен французским физиком Ж. Фуко (1819-1868) для устройства вращения земли.

Лекция№9.

Тема: «Механические колебания и волны»

Вопросы:

1)Гармонические колебания и их характеристики.

2)Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

3)Собственные гармонический колебания.

Гармоничные колебания величины S описываются уравнением типа:

(1)

Запишем 1-ую и 2-ую производные по времени от гармонически колеблющейся величины (2) т.к за период времени Т фаза колебаний получает приращение .

(3)

Из выражения (3) следует дифференциальное уравнение гармоничных колебаний , где . Решение этого уравнения является выражение (1).

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (4): (5)

Колебания гармоничного осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближённой моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармоничного осциллятора являются пружинной, физический и математический маятники.

1) Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармоничные колебания под действием упругой силы , где – жесткость пружины. Уравнение движения маятника: ,. Из выражений (5) и (1) следует, что пружинный маятник совершает гармоничные колебания по закону c цикличной частотой : (6) и периодом (7). Формула (7) справедлива только для упругих колебаний, в пределах, в которых выполняются закон Гука, т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна .

2) Физический маятник – это твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящий через точку 0, не совпадающую с центром масс тела (рис.1)

Рис.1.

Если маятник отклонён от положения равновесия на некоторый угол , то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твёрдого тела: момент возвращающей силы можно записать в виде: (8), где -момент инерции маятника отличительно оси, проходящей через точку подвеса , l - расстояние между ней и центром масс маятника, - возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направление и всегда противоположны; соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия).

Уравнение (8) можно записать в виде: или . Принимая (9), получим уравнение: , идентичное с (4), решение которого (1) известно: (10). Из выражения (10) следует, что при малых колебаниях физически маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 и периодом (11), где – приведенная длинна физического маятника

Точка на протяжении прямой , отстоящая от точки подвеса маятника на расстояние приведенной длинны , называется центром качаний физического маятника (см. рис. 1). Применяя теорему Штейнера: , получим: , т.е. всегда больше . Точка подвеса маятника и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости: ели точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3) Математический маятник – это идеализированная система, состоящая

Из материальной точки массой m. подвешенной на нерастяжимой невидимой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Момент инерции математического маятника: (12) , где – длинна маятника.

Т.к. математический маятник представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре масс, то подставить выражение (12) в формулу (11), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника: (13).

Из сравнения формул (11) и (13) видно, что если приведенная длинна физического маятника равна длине математического маятника, то периоды этих маятников одинаковы, следовательно, приведенная длинна физического маятника – это длинна такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

 

Лекция №10.

Тема: «Механические колебания и волны.»

Вопросы:

1)Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

2)Биение.

3)Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Когда колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, необходимо найти результирующее колебания. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты:

(1)

 

Гармонические колебания графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.

Рис.2

Для этого из произвольной точки , выбранной на оси , под углом равным начальной фазе колебаний, откладывается вектор , модуль которого равен амплитуде рассмотренного колебания (рис.2). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси и принимать значения от до , а колеблющаяся величина будет изменятся со временем по закону: . Т.о., гармоничные колебания можно представить в проекции произвольно выбранную ось вектора амплитуды , отложенного из произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью вокруг этой точки.

Пользуясь методом векторных диаграмм, построим векторные диаграммы этих колебаний. (1). (рис.3).

(Рис.3)

Т.к. и вращаются с одинаковой угловой скоростью , то разность фаз между ними остаётся постоянной.

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид:

 

(2)

 

В выражение (2) амплитуда и начальная фаза соответственно задаются соотношениями: ; (3).

Проанализируем выражение (3) в зависимости от разности фаз :

1) , тогда , т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

2) , тогда , т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний;

Для практики особый интерес представляет сложение колебаний одинакового направления мало отличающихся по частоте. В результате сложения этих колебаний получатся колебания с периодически изменяющейся амплитудой Периодические изменения амплитуды колебания, возникающей при сложение двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны , а частоты равны и , причем . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

 

Складывая эти выражения с учётом, что во втором сомножителе , найдем : (4)

Результирующее колебание (4)можно рассмотреть как гармоническое с частотой , амплитуда которого изменяется по следующему периодическому закону : (5) Частота изменения в два раза больше частоты изменения косинуса (т. к. берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: . Период биений: .

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте (6)

Представление периодической функции в виде (6) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложение Фурье. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами , , , … , называется гармониками сложного периодического колебания.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Для простоты отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем: (1)

Рис. 2.

Если , то эллипс (4) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями поляризованными по кругу.

 

Лекция№11.

Тема: «Механические колебания и волны.»

Вопросы:

1)Затухающие колебания.

2)Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

3)Коэффициент затухания.

4)Логарифмический декремент.

5)Добротность.

Затухающие колебания не являются периодическими, и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между 2 - мя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис.3).

Тогда период затухающих колебаний с учетом формуле (4) равен: .

Если и - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение: называется декрементом затухания, а его логарифм (7). – логарифмическим декрементом затухания; - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности , которая при малых значениях логарифмического декремента равна (8). (т.к. затухание мало, т.е. , то принято равным ).

Из формулы (8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых системой за время релаксации.

 

Свободные затухающие колебания пружинного маятника.

Для пружинного маятника массой , совершающего малые колебания под действием упругой силы , сила трения пропорциональна скорости, т.е. , где - коэффициент сопротивления; “-“ указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид: (9).

Используя формулу (циклическая частота пружинного маятника), и принимая коэффициент затухания , получим идентичное уравнению дифференциальное уравнение затухания колебаний маятника: .

Из выражений (1) и (5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону , где частота .

Добротность пружинного маятника

 

Лекция №12

Тема: «Механические колебания и волны.»

Вопросы:

1)Вынужденные колебания.

2)Дифференциального уравнения вынужденных колебаний и его решение. 3)Векторная диаграмма.

4)Резонанс.

5)Резонансные кривые.

 

Для получения не затухающих колебаний в реальной колебательной системе, необходимо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого – либо периодически действующего фактора , изменяющего по горизонтальному закону:

При рассмотрении механических колебаний, роль играет внешняя вынуждающая сила:(1).

Учитывая (1), закон движения пружинного маятника будет иметь вид: .

Учитывая, что и (коэффициенты затухания) придем к уравнению (2).

Колебания, возникающие, под действием внешней периодически изменяющейся силы называется, вынужденными механическими колебаниями.

Уравнение (2) можно свести к линейному дифференциальному уравнению: (3), где.

Решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Рассмотрим метод, в котором колеблющуюся величину представляют комплексным числом.

Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел , где- мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания можно записать в комплексной форме: (*).

Вещественная часть выражения (*)представляет собой гармонические колебания. Если обозначение Re вещественной части опустить, то (*) будет записываться в виде:. Колеблющаяся величина равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

Заменим правую часть уравнения (3) на комплексной величины . (4).

Частное решение этого уравнения будет искать в виде: .

Подставляя выражение для и его производных () в уравнение (4) получим: (5).

Т.к. это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t должно из него исключаться. Отсюда следует, что . Учитывая это, из уравнения (5)найдем величину и умножим ее числитель и знаменатель на : Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме: , где (6)

(7).

Следовательно, решение уравнения (4) в комплексной форме имеет вид: .

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (4) равна (8). и задаются формулами (6) и (7). Т.о. частное решение неоднородного уравнения (4) имеет вид: (9).

Графически вытянутые колебания выглядят следующим образом:

 

Из формулы (6) следует, что амплитуда смещения имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту - т.е. частоту, при которой амплитуда смещения достигает максимума, нужно найти максимум функции (6).

Продифференцировать подкоренное выражение по и приравняв его нулю, получим условие, определяющее .

Это равенство выполняется при , , у которых лишь положительное значение имеет физический смысл следовательно резонансная частота:

(10).

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется механическим резонансом.

При значение практически совпадает с собственной частотой колебательной системы. Подставляя (10) в формулу (6) получим:(11)

На рис.5. приведём зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты при разложение. Из (10) и (11) вытекает, что чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если, то все кривые достигают одного и того же, отличного от нуля, предельного значения , который называется статистическим отклонением.

В случае механических колебаний

Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

 

 

Из формулы (11) вытекает, что при малом затухании () резонансная амплитуда смещения: , где - добротность колебаний системы.

- статистическое отклонение. характеризует резонансные свойства колебаний системы, чем больше, тем больше.

 

Лекция №13.

Тема: «Упругие волны.»

Вопросы:

1)Распространение волн в упругой среде.

2)Продольные и поперечные волны

3)Уравнение плоской волны.

4)Волновое число.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной.

Упругими (или механическими) волнами называется механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные.

В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространение волны, в поперечных – в плоскостях, перпендикулярно направлению распространения волны.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующее ей колебание частиц среды являются гармоническими.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе называется длиной волны .Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т.е.или учитывая, что , где - частота колебаний .

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами качественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругости волн называется вектором Умова.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления осив среде, на поглощающей энергию, имеем вид, где- амплитуда волны,циклическая частота,начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начала отсчета и ,- фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число: .

Величина называется фазовой скоростью.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. свойство не изменяется под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним принцип суперпозиции (положение) волн: при распространении в линейной среде несколько волн каждая из них отсутствуют, а результирующие смещение частицы среда в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Любая волна может быть представлена в виде суммы гармоничных волн. т.е. в виде волнового пакета, или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн мало отличающимися друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющимися вдоль положительного направления осигармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем и . Тогда .

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющая функция координаты и времени.

За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета)принимаю скорость перемещения максимума амплитуды волн рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что , получим (*).

Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения групп волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет.

Выражение (*) получено для волнового пакета из двух составляющих.

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При наложении в пространстве двух ( или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление, или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.

Т.к. для когерентных источников разность начальных фаз , то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины называемой разностью хода волн. В точках, где наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего колебания . В точках, где наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего колебания ; m=0,1,2,. . ., называется соответственно порядком интерференционного максимума или минимума. Эти условия сводятся к тому, что .

Стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющиеся навстречу друг друга с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.

Уравнение имеет вид: . В точках среды, где , амплитуда колебаний достигает максимального значения равного 2А.

В точках среды, амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна , называется пучностями стоящей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю(), называется узлами стоящей волны.

Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Координаты пучностей и узлов имеют вид:

Из этих формул следует, что расстояние между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинакова и равна . Расстояние между соседними пучностью и узлами стоячей волны равно .

 

Лекция 14.

Тема: «Физика газа.»

Вопросы:

1)Статистический и термодинамический методы исследования. 2)Макроскопические параметры.

3)Уравнение состояния идеального газа.

4) Уравнение молекулярно – кинетической теории.

5)Средняя энергия молекулы.

60 Физический смысл температуры.

 

Молекулярная физика и термодинамика – разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: статистический (молекулярный и кинетический) и термодинамический. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй – термодинамики.

Молекулярная физика – раздел физической науки, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.

Законы поведения огромного числа молекул изучают с помощью статистического метода, который основан на том , что свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями динамических характеристик этих частиц (скорости, энергии и т.д.). Например, температура определяется скоростью хаотического движения его молекул, но т.к. в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости движения молекул, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения молекул. Нельзя говорить о температуре одной молекулы. Т.о. макроскопические характеристики тел имеют физический смысл лишь в случае большого числа молекул.

Термодинамика – раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия и процессы переходя между этими состояниями. Отличие термодинамического метода от статистического заключается в том, что термодинамика не рассматривает микропроцессы которые лежат в основе этих превращений. Термодинамический метод не рассматривает внутреннее строение изучаемых тел и характер движения отдельных частиц. Основой термодинамического метода является определение состояния термодинамической системы.

Термодинамическая система – совокупность макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией, как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния) - совокупностью физических величин, характеризующих свойства термодинамической системы. В качестве параметров состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.

Температура – физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы.

В настоящее время можно применять только две температурные шкалы – термодинамическую и Международную практическую, градуированная соответственно в Кельвинах (К) и в градусах Цельсия (). В Международной практической шкале температура замерзания и кипения воды при давлении 1,013 * Па соответственно 0 и 100(реперные точки).

Термодинамическая температурная шкала – определяется по одной реперной точке, в качестве которой взята тройная точка воды (температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давлении 609 Па находится в термодинамическом равновесии). Температура этой точки по термодинамической шкале равна 273,16 К (точно). Градус Цельсия равен Кельвину. В термодинамической шкале температура замерзания воды равна 273,15 К (притом же давлении, что и в Международной практической шкале), поэтому, по определению термодинамическая температура и температура по Международной практической шкале связаны соотношением: температура

Т=0 К называется нулем Кельвина. Анализ различных процессов показывает, что 0 К недостоверным, хотя приближение к нему сколько угодно близко возможно.

Удельный объем- это объем единица массы. Когда тело однородно, т.е. его плотность , то т.к. при постоянной массе удельный объем пропорционален общему объему, то макроскопическое свойство однородного тела можно характеризовать объемом тела.

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из ее термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом. Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется.

В молекулярно – кинетической теории пользуются идеализированной моделью идеального газа, согласно которой считают, что:

1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

 

Рассмотрим законы, описывающие поведение идеальных газов:

 

1. Закон Бойля – Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:,, .(1)

Кривая, изображающая зависимость между величинами и , характеризующими свойствами вещества при постоянной температуре, называется изотермой. Изотермы – это гиперболы, расположенные на графике тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс (рис.1.)

 

2.Законы Гей – Люссака:

1) объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой: при ,;(2).где -температура по шкале Цельсия, и- давление и объем при , коэффициент .

Процесс протекающий при постоянном давлении, называется изобарным. На диаграмме в координатах ,(рис.2) этот процесс изображается прямой, называемой изобарой.

 

2) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой: при,(3).

где температура по шкале Цельсия, и- давление и объем при , коэффициент .

Процесс протекающий при постоянном объеме называется изохорным. На диаграмме в координатах,(рис.3) он изображается прямой, называемой изохорой.

 

 

Из выражений (2) и (3) следует, что изобары и изохоры пересекают ось температур в точке , определяемой из условия . Если перенести начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (рис.3), откуда .

Вводя в формулы (2) и (3) термодинамическую температуру , законам Гей – Люссака можно придать более удобный вид:

при ,(4).

при , ,(5)

где индекса 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной изобаре или изохоре.

3.Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях этот объем равен .

По определению, в одном моле различных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро : .

4. Закон Дальтона : давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов:.

Парциальное давление – давление которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.

Между тремя термодинамическими параметрами (давление , объем и температурой ) существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением: , где каждая из переменных является функцией двух других. Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864)вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля – Мариотта и Гей – Люссака.

Пусть некоторая масса газа занимает объем , имеет давление и находится при температуре . Это же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами (рис. 4.) Переход из состояния один с состояние два осуществляется в виде двух процессов:

1) изотермического (изотерма 1-1’)

2) изохорного (изохора 1’-2).

В соответствии с законами Бойля – Мариотта (1) и Гей – Люссака(5) запишем: (6) (7). Исключив из уравнений (6) и (7) , получим: .

Т.к. состояние 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина остается постоянной, т.е. (8)

Выражение (8) является уравнением Клапейрона, в котором – газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д.И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (8) к одному молю, использовав молярный объем . Согласно закону Авогадро, при одинаковых и моли всех газов занимают одинаковый молекулярный объем , поэтому постоянная будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается и называется молярной газовой постоянной. Уравнению (9) удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемого также уравнением Клапейрона – Менделеева. .

От уравнения (9) для моли газа можно перейти и уравнению К-М для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давление и температуре один моль газа занимает молярный объем , то при тех же условиях масса газа займет объем , где - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы – килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона – Менделеева для массы газа:

(10), где- количество вещества.

Используя постоянную Больцмана уравнение (9) примет вид:, где концентрация молекул (число молекул в единице объема). Т.о. из уравнения (10) следовательно, что давление идеально газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул.

 

Лекция 15.

Тема: «Физика газов.»

Вопросы:

1)Распределение Максвелла.

2)Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости молекул. 3)Распределение Больцмана.

4)Барометрическая формула.

5)Средняя длина свободного пробега молекул.

6)Явление переноса в газах.

7)Понятие о свойствах разреженных газов.

Закон Максвелла описывается функцией , называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные оси , то на каждый интервал скорости будет приходить некоторое число молекул , имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до т.е. (1).

Функция удовлетворяет условию нормировки .

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти продифференцировав выражение (1) по

Значение и соответствуют минимумам выражения (1), а значение , при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость : (2).

Средняя скорость молекулы определяется по формуле.

Подставляя сюда и интегрируя получаем

(3).

Исходя из распределения молекул по скоростям (4)

можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии . Для этого перейдем от переменной к переменной .

Подставив в (4) и , получим , где - число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интеграле от до .

Т.о., функция распределения молекул по энергиям теплового движения.

Средняя кинетическая энергия <E>молекулы идеального газа:

Выведем значение изменения давления с высотой предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если на высоте равно (рис.1), то на высоте оно равно(при , т.к давление с высотой убывает). Разность давлений и равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой с основанием площадью :, где - плотность газа на высоте (настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно (5)

 

С помощью уравнения состояния идеального газа , находим, что .

Подставив это выражение в (5), получим , или С изменением высота от идавление изменяется от до (рис.1), т.е. , или (6).

Выражение (6) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Т.к. высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (6) можно записать в виде:(7) где р- давление не высоте h.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотометром ( или альтиметром).

Используя выражение , барометрическую формулу можно преобразовать: , где -концентрация молекул на высоте , - то же, на высоте . Т.к., (- масса одной молекулы), , - молярная газовая постоянная), то , где - потенциальная энергия молекула в поле тяготения, т.е. (8).

Формула (8) – распределение Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (8) оправдано в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь , который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но т. к. мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <>.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d(рис.2). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Средняя длина свободного пробега , где - среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с.

, где - концентрация молекул, , - средняя скорость молекулы или путь, пройденный ею за 1с). Т.о. среднее число столкновений .

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул .

Тогда средняя длина свободного пробега концентрации n молекул. С другой стороны, при постоянной температуре n пропорциональна давлению P следовательно: .

В термодинамических неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса.

К явлениям переноса относят : теплопроводность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение ( обусловлена переносом импульса).

1. Теплопроводность. Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновении молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий его молекул, т.е. иными словами, выравнивание температур. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье: (9), где - плотность теплового потока. величина, определяемая энергией, переносимой в форме тепла в единицу времени через единую площадку, перпендикулярную оси х, - теплопроводность, - градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак “-“ показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры. Теплопроводность численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном 1.

2.Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что проходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности.

Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика: ,(10), где - плотность потока массы – величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х , D – диффузия (коэффициент диффузии), - градиент плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что перенос массы проходит в направлении убывания плотности. Диффузия D численно равна плотности потока масс при градиенте плотности, равной единице. Согласно кинетической теории газов: (11).

3. Внутреннее трение (вязкость).Механизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа ( жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из – за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее уменьшается, движущегося медленнее,- увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.

Сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняются закону Ньютона:(12), где h - динамическая вязкость, - градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х , перпендикулярном направлению движения слоев, S – площадь на которую действует сила F.

Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (12) можно представить в виде - плотность потока импульса. – величина, определяемая полным импульсом, переносимом в единицу времени в положительном направлении оси x через единичную площадку, перпендикулярного оси x , - градиент скорости. Знак минус указывает , что импульс переменится в направлении убывания скорости. Динамическая вязкость h численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости равном единице; она вычисляется по формуле:. (13).

 

Лекция №16.

Тема: “ Основы термодинамики.”

Вопросы:

1) Первое начало термодинамики.

2)Работа газа при изменении его объёма.

3) Теплоёмкость.

4 Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.

 

Первое начало термодинамики.

Таким образом, можно говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: работе и теплоте. Энергия механического движения может… Допустим, что некоторая система (газ, заключённый в цилиндр под поршнем),…  

Работа газа при изменении его объёма.

Для рассмотрения конкретных процессов найдём в общем виде внешнюю работу, совершаемую газом при изменении его объёма. Рассмотрим, например, газ,… , где -площадь поршня , - изменение объёма системы. Таким образом,.(4)

Теплоёмкость.

Единица удельная теплоёмкости – джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг К)). Молярная теплоёмкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.

Среди равновесных процессов, происходящих с термодинамическими системами, выде­ляются изопроцессам, при которых один из основных параметров… Изохорный процесс Диаграмма этого процесса (изохора) в координатах…

Круговой процесс (цикл). Обратимы и необратимые процессы.

Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное. На диаграмме процессов… Прямой цикл используется в тепловых двигателях — периодически действующих… В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, следовательно, полное изменение…

Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его к.п.д. для идеального газа.

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода — периодически действующий двигатель,… Принцип действия теплового двигателя приведен на рис.3. От термостата с более… Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигателя (11) был равен 1, необходимо выполнение условия .…

Лекция №18.

Вопросы : 1)Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической… 2) Второе начало термодинамики.

Второе начало термодинамики

Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических… Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса (см. §1), второе начало… Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики: в про­цессах, происходящих в замкнутой системе,…